Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение 5^(x^2 + a^2 - 24) - 5^(-2acos x) = (-2acos x)^5 - (x^2 + a^2 - 24)^5 имеет ровно 1 корень.

Введём обозначения u = x^2 + a^2 - 24 и v = -2acos x . Уравнение принимает вид 5^u + u^5 = 5^v + v^5. Функция (t) = 5^t + t^5 строго возрастает на R (производная '(t) = 5^t ln 5 + 5t^4 > 0 при всех t ), поэтому u = v : x^2 + a^2 - 24 = -2acos x <=>x^2 + a^2 + 2acos x = 24. Левая часть () — чётная функция от x , поэтому вместе с любым корнем x_0 != 0 корнем будет и -x_0 . Значит, ровно один корень возможен только при x = 0 . Подставим x = 0 : a^2 + 2a = 24 <=>a^2 + 2a - 24 = 0 =>a = -6 или a = 4. Проверим оба значения. **При a = -6 :** () переписывается как x^2 + 36 - 12cos x = 24 , то есть x^2 + 12(1 - cos x) = 0 . Оба слагаемых неотрицательны и обращаются в нуль одновременно лишь при x = 0 . Значит, корень единственный. ✓ **При a = 4 :** уравнение () — это x^2 + 8cos x - 8 = 0 . Рассмотрим f(x) = x^2 + 8cos x - 8 . Тогда f(0) = 0 — корень. Но также f(pi) = pi^2 - 16 < 0 (поскольку pi^2 ~ 9,87 ), а f(2pi) = 4pi^2 > 0 . По теореме о промежуточном значении на (pi;2pi) есть ещё один корень. По чётности есть и симметричный отрицательный корень. Получаем не менее трёх корней — не подходит. ✗ Ответ: a = -6 .

$a = -6$