Задача №17152

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$5^{x^2+a^2-24}-5^{-2a\cos x}=(-2a\cos x{)}^5-(x^2+a^2-24{)}^5$$

имеет ровно 1 корень.

Введём обозначения $u=x^2+a^2-24$ и $v=-2a\cos x\text{.}$ Уравнение принимает вид

$$5^u+u^5=5^v+v^5.$$

Функция $\phi (t)=5^t+t^5$ строго возрастает на $\mathbb{R}$ (производная ${\phi }^{\prime }(t)=5^t\ln 5+5t^4>0$ при всех $t$), поэтому $u=v\text{:}$

$$x^2+a^2-24=-2a\cos x\iff x^2+a^2+2a\cos x=24.\text{\hspace{1em}(ast)}$$

Левая часть $(\ast )$ — чётная функция от $x\text{,}$ поэтому вместе с любым корнем $x_0\ne 0$ корнем будет и $-x_0\text{.}$ Значит, ровно один корень возможен только при $x=0\text{.}$ Подставим $x=0\text{:}$

$$a^2+2a=24\iff a^2+2a-24=0\Rightarrow a=-6\text{ или }a=4.$$

Проверим оба значения.

При $a=-6\text{:}$ $(\ast )$ переписывается как $x^2+36-12\cos x=24\text{,}$ то есть $x^2+12(1-\cos x)=0\text{.}$ Оба слагаемых неотрицательны и обращаются в нуль одновременно лишь при $x=0\text{.}$ Значит, корень единственный. ✓

При $a=4\text{:}$ уравнение $(\ast )$ — это $x^2+8\cos x-8=0\text{.}$ Рассмотрим $f(x)=x^2+8\cos x-8\text{.}$ Тогда $f(0)=0$ — корень. Но также $f(\pi )={\pi }^2-16<0$ (поскольку ${\pi }^2\approx 9,87$), а $f(2\pi )=4{\pi }^2>0\text{.}$ По теореме о промежуточном значении на $(\pi ;2\pi )$ есть ещё один корень. По чётности есть и симметричный отрицательный корень. Получаем не менее трёх корней — не подходит. ✗

Ответ: $a=-6\text{.}$