Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC (AB = AC), касается боковой стороны AB в точке P, а основания BC — в точке M. Вторая окружность (внеписанная), касающаяся основания BC и продолжений боковых сторон, касается прямой AB в точке Q. А) Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника PMQ, совпадает с вершиной B. Б) Найдите стороны треугольника ABC, если известно, что PQ = 12, а расстояние между центрами первой и второй окружностей равно 15.

Обозначим I — центр вписанной окружности, J — центр вневписанной (касающейся BC и продолжений боковых сторон). Так как треугольник ABC равнобедренный, прямая AM — ось симметрии (одновременно высота, медиана и биссектриса из вершины A). По симметрии точки I и J лежат на прямой AM, причём вневписанная окружность тоже касается основания BC в точке M. А) Из точки B к вписанной окружности проведены две касательные (BP и BM), значит BP = BM. Из точки B к вневписанной окружности — также две касательные (BQ и BM), значит BQ = BM. Поэтому BP = BM = BQ, точки P,M,Q равноудалены от B, и центр окружности, описанной около треугольника PMQ, совпадает с вершиной B. ∎ Б) Точки P и Q лежат на прямой AB по разные стороны от B, причём B между ними (так как P на отрезке AB, а Q — на продолжении AB за точку B). Поэтому PQ = BP + BQ = 2BM = 12 =>BM = 6,BC = 2BM = 12. Пусть AB = AC = c. Высота из A: AM = sqrt(c^2 - 36). Полупериметр s = (2c + 12)/(2) = c + 6, площадь S_( ABC) = (1)/(2) * 12 * sqrt(c^2 - 36) = 6sqrt(c^2 - 36). Радиусы вписанной и вневписанной окружностей: r = (S)/(s) = (6sqrt(c^2 - 36))/(c + 6), r_a = (S)/(s - a) = (6sqrt(c^2 - 36))/(c - 6). Точки I и J лежат на перпендикуляре к BC через M по разные стороны от BC, поэтому IJ = r + r_a = 6sqrt(c^2 - 36)((1)/(c + 6) + (1)/(c - 6)) = 6sqrt(c^2 - 36)*(2c)/(c^2 - 36) = (12c)/(sqrt(c^2 - 36)). Из IJ = 15: 12c = 15sqrt(c^2 - 36), тогда 144c^2 = 225(c^2 - 36), 81c^2 = 8100, c^2 = 100, c = 10. Ответ: А) Доказано. Б) AB = AC = 10, BC = 12.

$AB = AC = 10$; $BC = 12$