Задача №17151

Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=AC$), касается боковой стороны $AB$ в точке $P\text{,}$ а основания $BC$ — в точке $M\text{.}$ Вторая окружность (внеписанная), касающаяся основания $BC$ и продолжений боковых сторон, касается прямой $AB$ в точке $Q\text{.}$

А) Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $PMQ\text{,}$ совпадает с вершиной $B\text{.}$
Б) Найдите стороны треугольника $ABC\text{,}$ если известно, что $PQ=12\text{,}$ а расстояние между центрами первой и второй окружностей равно 15.

Обозначим $I$ — центр вписанной окружности, $J$ — центр вневписанной (касающейся $BC$ и продолжений боковых сторон). Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, прямая $AM$ — ось симметрии (одновременно высота, медиана и биссектриса из вершины $A$). По симметрии точки $I$ и $J$ лежат на прямой $AM\text{,}$ причём вневписанная окружность тоже касается основания $BC$ в точке $M\text{.}$

А) Из точки $B$ к вписанной окружности проведены две касательные ($BP$ и $BM$), значит $BP=BM\text{.}$ Из точки $B$ к вневписанной окружности — также две касательные ($BQ$ и $BM$), значит $BQ=BM\text{.}$ Поэтому $BP=BM=BQ\text{,}$ точки $P,M,Q$ равноудалены от $B\text{,}$ и центр окружности, описанной около треугольника $PMQ\text{,}$ совпадает с вершиной $B\text{.}$ ∎

Б) Точки $P$ и $Q$ лежат на прямой $AB$ по разные стороны от $B\text{,}$ причём $B$ между ними (так как $P$ на отрезке $AB\text{,}$ а $Q$ — на продолжении $AB$ за точку $B$). Поэтому

$$PQ=BP+BQ=2BM=12\Rightarrow BM=6,BC=2BM=12.$$

Пусть $AB=AC=c\text{.}$ Высота из $A\text{:}$ $AM=\sqrt{c^2-36}\text{.}$ Полупериметр $s=\frac{2c+12}{2}=c+6\text{,}$ площадь $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot \sqrt{c^2-36}=6\sqrt{c^2-36}\text{.}$

Радиусы вписанной и вневписанной окружностей:

$$r=\frac{S}{s}=\frac{6\sqrt{c^2-36}}{c+6},r_a=\frac{S}{s-a}=\frac{6\sqrt{c^2-36}}{c-6}.$$

Точки $I$ и $J$ лежат на перпендикуляре к $BC$ через $M$ по разные стороны от $BC\text{,}$ поэтому

$$IJ=r+r_a=6\sqrt{c^2-36}\left(\frac{1}{c+6}+\frac{1}{c-6}\right)=6\sqrt{c^2-36}\cdot \frac{2c}{c^2-36}=\frac{12c}{\sqrt{c^2-36}}.$$

Из $IJ=15\text{:}$ $12c=15\sqrt{c^2-36}\text{,}$ тогда $144c^2=225(c^2-36)\text{,}$ $81c^2=8100\text{,}$ $c^2=100\text{,}$ $c=10\text{.}$

Ответ:

А) Доказано.

Б) $AB=AC=10\text{,}$ $BC=12\text{.}$