Задача №17150

Из точки $A\text{,}$ лежащей вне окружности, проведены касательная $AB$ (где $B$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $C$ и $D\text{,}$ причём точка $C$ лежит между $A$ и $D\text{.}$ Длина касательной $AB$ равна $6\text{,}$ а отрезок $CD$ (внутренняя часть секущей) равен $5\text{.}$ Найдите длину всей секущей $AD\text{.}$

По теореме о касательной и секущей, проведённых из одной точки:

Пусть $AD=x\text{.}$ Тогда $AC=AD-CD=x-5\text{.}$

Подставляем известные значения:

Дискриминант: $D=25+144=169\text{,}$ $\sqrt{D}=13\text{.}$

Корни: $x=\frac{5\pm 13}{2}\text{,}$ то есть $x=9$ или $x=-4\text{.}$

Длина не может быть отрицательной, значит $AD=9\text{.}$

Ответ: $AD=9$