Дан цилиндр с осевым сечением в виде прямоугольника и центрами нижнего и верхнего оснований в точках O и O_1 соответственно. Плоскость alpha проходит через диаметр AB нижнего основания и имеет с верхним основанием ровно одну общую точку K . А) Докажите, что проекция точки K на плоскость нижнего основания лежит на прямой, проходящей через точку O перпендикулярно AB . Б) Найдите расстояние от центра верхнего основания (точки O_1 ) до плоскости alpha , если радиус основания цилиндра равен 15, а высота цилиндра равна 20.

А) Доказательство Плоскость alpha проходит через диаметр AB нижнего основания и пересекает верхнее основание в плоскости. Так как у alpha с верхним основанием ровно одна общая точка K , прямая пересечения alpha с плоскостью верхнего основания касается окружности верхнего основания в точке K . Значит эта прямая (обозначим её ) перпендикулярна радиусу O_1K . Пусть K' — проекция K на плоскость нижнего основания. Тогда K' находится на нижней окружности (так как ось OO_1 цилиндра перпендикулярна обоим основаниям), причём OK' O_1K . Прямая параллельна нижнему основанию (так как лежит в плоскости alpha , которая параллельных нет — но лежит в плоскости верхнего основания, параллельной нижнему). Прямая AB — диаметр нижнего основания — также лежит в нижней плоскости и в плоскости alpha . Прямые и AB параллельны (как пересечения плоскости alpha с двумя параллельными плоскостями оснований). Итак: AB и O_1K . Следовательно O_1K AB . Поскольку OK' O_1K , имеем OK' AB . То есть точка K' лежит на прямой через O , перпендикулярной диаметру AB . Б) Расстояние от O_1 до плоскости alpha Введём координаты: O = (0,0,0) , AB вдоль оси x . Тогда A = (-15,0,0) , B = (15,0,0) , O_1 = (0,0,20) . По доказательству K = (0,15,20) (берём K' = (0,15,0) на оси y ). Плоскость alpha содержит A , B , K . Векторы AB = (30,0,0) и AK = (15,15,20) . Нормаль: n = AB * AK = (0 * 20 - 0 * 15,0 * 15 - 30 * 20,30 * 15 - 0 * 15) = (0,-600,450). Упростим: n (0,-4,3) . Уравнение плоскости: -4y + 3z = 0 , или 4y - 3z = 0 . Расстояние от O_1 = (0,0,20) до этой плоскости: d = (|4 * 0 - 3 * 20|)/(sqrt(4^2 + 3^2)) = (60)/(5) = 12. Ответ: Б) 12 .

12