Задача №17147

Дан цилиндр с осевым сечением в виде прямоугольника и центрами нижнего и верхнего оснований в точках $O$ и $O_1$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через диаметр $AB$ нижнего основания и имеет с верхним основанием ровно одну общую точку $K\text{.}$

А) Докажите, что проекция точки $K$ на плоскость нижнего основания лежит на прямой, проходящей через точку $O$ перпендикулярно $AB\text{.}$
Б) Найдите расстояние от центра верхнего основания (точки $O_1$) до плоскости $\alpha \text{,}$ если радиус основания цилиндра равен 15, а высота цилиндра равна 20.

А) Доказательство

Плоскость $\alpha$ проходит через диаметр $AB$ нижнего основания и пересекает верхнее основание в плоскости. Так как у $\alpha$ с верхним основанием ровно одна общая точка $K\text{,}$ прямая пересечения $\alpha$ с плоскостью верхнего основания касается окружности верхнего основания в точке $K\text{.}$ Значит эта прямая (обозначим её $\ell$) перпендикулярна радиусу $O_{1}K\text{.}$

Пусть $K^{\prime }$ — проекция $K$ на плоскость нижнего основания. Тогда $K^{\prime }$ находится на нижней окружности (так как ось $O{O}_1$ цилиндра перпендикулярна обоим основаниям), причём $O{K}^{\prime }\parallel O_{1}K\text{.}$ Прямая $\ell$ параллельна нижнему основанию (так как лежит в плоскости $\alpha \text{,}$ которая параллельных нет — но $\ell$ лежит в плоскости верхнего основания, параллельной нижнему). Прямая $AB$ — диаметр нижнего основания — также лежит в нижней плоскости и в плоскости $\alpha \text{.}$ Прямые $\ell$ и $AB$ параллельны (как пересечения плоскости $\alpha$ с двумя параллельными плоскостями оснований).

Итак: $\ell \parallel AB$ и $\ell \perp O_{1}K\text{.}$ Следовательно $O_{1}K\perp AB\text{.}$ Поскольку $O{K}^{\prime }\parallel O_{1}K\text{,}$ имеем $O{K}^{\prime }\perp AB\text{.}$ То есть точка $K^{\prime }$ лежит на прямой через $O\text{,}$ перпендикулярной диаметру $AB\text{.}$ $■$

Б) Расстояние от $O_1$ до плоскости $\alpha$

Введём координаты: $O=(0,0,0)\text{,}$ $AB$ вдоль оси $x\text{.}$ Тогда $A=(-15,0,0)\text{,}$ $B=(15,0,0)\text{,}$ $O_1=(0,0,20)\text{.}$

По доказательству $K=(0,15,20)$ (берём $K^{\prime }=(0,15,0)$ на оси $y$).

Плоскость $\alpha$ содержит $A\text{,}$ $B\text{,}$ $K\text{.}$ Векторы $\overrightarrow{AB}=(30,0,0)$ и $\overrightarrow{AK}=(15,15,20)\text{.}$ Нормаль:

$$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AK}=(0\cdot 20-0\cdot 15,0\cdot 15-30\cdot 20,30\cdot 15-0\cdot 15)=(0,-600,450).$$

Упростим: $\vec{n}\parallel (0,-4,3)\text{.}$ Уравнение плоскости: $-4y+3z=0\text{,}$ или $4y-3z=0\text{.}$

Расстояние от $O_1=(0,0,20)$ до этой плоскости:

$$d=\frac{|4\cdot 0-3\cdot 20|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{60}{5}=12.$$

Ответ: Б) $12\text{.}$