Задача №17146

Уважаемый дядя Вахид организует грандиозное застолье по случаю свадьбы племянника. Из своего сундука он выделил ровно 800 золотых монет на главные атрибуты праздника.

В прайс-листе лучшего тамады района есть три позиции:

• Шампуры с бараньим шашлыком (цена — 15 монет за штуку);
• Резные рога для долгих тостов (цена — 28 монет за штуку);
• Ручные кавказские орлы для красивых фотографий (цена — 71 монета за штуку).

Дядя Вахид чтит традиции, поэтому каждого пункта нужно заказать хотя бы по одному. Кроме того, как гласит неписаный закон гостеприимства: количество шампуров шашлыка должно быть строго больше количества рогов для тостов (чтобы гости сначала покушали, а потом пили), а количество рогов — строго больше количества орлов (иначе птицы перекричат всех во время тоста).

А) Мог ли дядя Вахид заказать ровно 40 предметов суммарно?
Б) Мог ли дядя Вахид заказать ровно 30 предметов суммарно?
В) Какое наименьшее количество шампуров шашлыка может заказать дядя Вахид, чтобы не нарушить древние законы гостеприимства?

Обозначим $x\text{,}$ $y\text{,}$ $z$ — количество шампуров, рогов и орлов соответственно. По условию $x⩾1\text{,}$ $y⩾1\text{,}$ $z⩾1\text{,}$ $x>y>z$ и

$$15x+28y+71z=800.$$

А) Если $x+y+z=40\text{,}$ то $x=40-y-z$ и

$$15(40-y-z)+28y+71z=800\iff 13y+56z=200.$$

Перебор по $z\text{:}$ при $z=1\text{:}$ $13y=144\text{,}$ не делится на 13; при $z=2\text{:}$ $13y=88\text{,}$ не делится; при $z=3\text{:}$ $13y=32\text{,}$ не делится; при $z⩾4\text{:}$ $56z⩾224>200\text{.}$ Решений в натуральных числах нет.

Не мог.

Б) Если $x+y+z=30\text{,}$ аналогично получаем

$$13y+56z=350.$$

Перебор по $z$ от 1 до 6: единственное решение в натуральных числах — $z=3\text{,}$ $y=14\text{.}$ Тогда $x=30-14-3=13\text{,}$ но условие $x>y$ требует $13>14$ — противоречие.

Не мог.

В) Из $15x+28y+71z=800$ по модулю 15 (учитывая $28\equiv -2\text{,}$ $71\equiv 11\text{,}$ $800\equiv 5(\mathrm{mod}15)$) получаем $-2y+11z\equiv 5\text{,}$ откуда $y+2z\equiv 5(\mathrm{mod}15)$ (умножив на $-2^{-1}\equiv 7$). Положим $y=5-2z+15t\text{,}$ $t\in \mathbb{Z}\text{.}$ Тогда

$$x=\frac{800-28y-71z}{15}=44-28t-z.$$

Условия $x>y$ и $y>z$ дают

$$\{\begin{array}{l}44-28t-z>5-2z+15t,\\ 5-2z+15t>z;\end{array}\iff \{\begin{array}{l}43t-z<39,\\ 3z-15t<5.\end{array}$$

Сложив с подходящими весами, имеем $114t<122\text{,}$ то есть $t⩽1\text{.}$ Из системы получаем двойное неравенство

$$43t-39<z<\frac{5+15t}{3}.$$

При $t=1\text{:}$ $4<z<\frac{20}{3}\approx 6,67\text{,}$ значит $z\in \{5,6\}\text{.}$

• $z=5\text{:}$ $y=5-10+15=10\text{,}$ $x=44-28-5=11\text{.}$ Условия $11>10>5$ — ОК.
• $z=6\text{:}$ $y=5-12+15=8\text{,}$ $x=44-28-6=10\text{.}$ Условия $10>8>6$ — ОК.

При $t=0\text{:}$ $-39<z<\frac{5}{3}\text{,}$ значит $z=1\text{.}$ Тогда $y=3\text{,}$ $x=43\text{.}$ Условия $43>3>1$ — ОК.

При $t⩽-1\text{:}$ $z<43\cdot (-1)-39=-82<0$ — невозможно.

Полный список: $(x,y,z)\in \{(43,3,1),(11,10,5),(10,8,6)\}\text{.}$ Минимальное значение $x$ равно $10$ (при $y=8\text{,}$ $z=6$).

Ответ:

А) Нет

Б) Нет

В) 10