Задача №17141

Найдите сторону $AE$ пятиугольника $ABCDE\text{,}$ изображённого на рисунке. $DC=9\text{,}$ $BC=3\sqrt{3}\text{,}$ $\angle EDC=150^{\circ }\text{.}$ (На рисунке: пятиугольник с прямыми углами при вершинах $A\text{,}$ $E$ и $C\text{.}$)

1) Из прямоугольного $△DCB$ ($\angle C=90^{\circ }$): $\frac{BC}{CD}=\frac{3\sqrt{3}}{9}=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{,}$ откуда $\angle BDC=30^{\circ }\text{,}$ а значит $\angle EDB=150^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

2) Опустим из $B$ перпендикуляр $BH$ на прямую $AD$ (продолжение). Тогда $\angle BDH=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$… или, эквивалентно, в $△BDH$ (прямоугольном при $H$) угол $\angle DBH=30^{\circ }\text{,}$ $△BDH=△BDC$ (общая гипотенуза, равные острые углы). Поэтому $DH=DC=9\text{,}$ и $AE=DH=9\text{.}$

Ответ: $9\text{.}$