Задача №17140

В основании пирамиды $ABCD$ лежит прямоугольный треугольник $ABC\text{,}$ $\angle ACB=90^{\circ }\text{,}$ $O$ — точка пересечения медиан, $DO=8$ — высота пирамиды. $AD=10\text{,}$ $AC=4\sqrt{2}\text{.}$ Найдите $BC\text{.}$

$DO$ — высота пирамиды, поэтому $DO\perp AO\text{.}$

1) В прямоугольном треугольнике $AOD\text{:}$ $AO=\sqrt{A{D}^2-D{O}^2}=\sqrt{100-64}=6\text{.}$

2) $O$ — точка пересечения медиан $△ABC\text{,}$ делит медианы в отношении $2:1\text{,}$ считая от вершины. Значит, $AN=\frac{3}{2}AO=9\text{,}$ где $N$ — середина $BC\text{.}$

3) В прямоугольном треугольнике $ACN$ ($\angle ACN=90^{\circ }\text{,}$ так как $\angle ACB=90^{\circ }$): $CN=\sqrt{A{N}^2-A{C}^2}=\sqrt{81-32}=\sqrt{49}=7\text{.}$

4) $BC=2CN=14\text{.}$

Ответ: $14\text{.}$