Задача №17137

Решите неравенство:
${\log }_{\frac{x^2-12x+30}{10}}\left({\log }_2\frac{2x}{5}\right)>0\text{.}$

Обозначим основание $b=\frac{x^2-12x+30}{10}$ и аргумент $f={\log }_2\frac{2x}{5}\text{.}$

ОДЗ:
1. $b>0\text{:}$ $x^2-12x+30>0\iff x<6-\sqrt{6}$ или $x>6+\sqrt{6}\text{.}$
2. $b\ne 1\text{:}$ $x^2-12x+20\ne 0\iff x\ne 2,x\ne 10\text{.}$
3. $f>0\text{:}$ $\frac{2x}{5}>1\iff x>\frac{5}{2}\text{.}$

Неравенство ${\log }_{b}f>0$ равносильно совокупности двух случаев.

Случай 1. $b>1$ и $f>1\text{.}$

• $b>1\text{:}$ $x^2-12x+20>0\iff x<2$ или $x>10\text{.}$
• $f>1\text{:}$ $\frac{2x}{5}>2\iff x>5\text{.}$
• С учётом ОДЗ ($x>\frac{5}{2}$): $x>10\text{.}$

Случай 2. $0<b<1$ и $0<f<1\text{.}$

• $0<b<1\text{:}$ одновременно $x^2-12x+30>0$ и $x^2-12x+20<0\text{.}$ Получаем $x\in (2;6-\sqrt{6})\cup (6+\sqrt{6};10)\text{.}$
• $0<f<1\text{:}$ $1<\frac{2x}{5}<2\iff \frac{5}{2}<x<5\text{.}$
• Пересечение: $\left(\frac{5}{2};6-\sqrt{6}\right)\text{,}$ так как $6-\sqrt{6}\approx 3,55<5\text{,}$ а интервал $(6+\sqrt{6};10)$ с интервалом $\left(\frac{5}{2};5\right)$ не пересекается.

Ответ: $x\in \left(\frac{5}{2};6-\sqrt{6}\right)\cup (10;+\infty )\text{.}$