Задача №17135

а) Решите уравнение
$\cos \left(3x-\frac{\pi }{2}\right)+\cos \left(5x+\frac{3\pi }{2}\right)=\sin (\pi -4x)\text{.}$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

Преобразуем каждое слагаемое по формулам приведения:

Уравнение принимает вид $\sin 3x+\sin 5x=\sin 4x\text{.}$ Применяя формулу суммы синусов $\sin 3x+\sin 5x=2\sin 4x\cos x\text{,}$ получаем:

Отсюда:

1. $\sin 4x=0\Rightarrow 4x=\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi k}{4},k\in \mathbb{Z}\text{;}$
2. $\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Отберём корни на отрезке $\left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

Из серии $x=\frac{\pi k}{4}$ требуется $\pi ⩽\frac{\pi k}{4}⩽\frac{3\pi }{2}\text{,}$ то есть $4⩽k⩽6\text{.}$

Получаем:

• при $k=4\text{:}$ $x=\pi \text{;}$
• при $k=5\text{:}$ $x=\frac{5\pi }{4}\text{;}$
• при $k=6\text{:}$ $x=\frac{3\pi }{2}\text{.}$

Корни серии $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$ на этот отрезок не попадают (ближайшие $\frac{5\pi }{3}$ и $\frac{7\pi }{3}$ — за границами).

Ответ:

а) $\frac{\pi k}{4};\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,k,n\in \mathbb{Z}$

б) $\pi ;\frac{5\pi }{4};\frac{3\pi }{2}$