а) Решите уравнение cos(3x - (pi)/(2)) + cos(5x + (3pi)/(2)) = sin(pi - 4x) . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [pi; (3pi)/(2)] .

Преобразуем каждое слагаемое по формулам приведения: cos(3x - (pi)/(2)) = cos((pi)/(2) - 3x) = sin 3x, cos(5x + (3pi)/(2)) = sin 5x, sin(pi - 4x) = sin 4x. Уравнение принимает вид sin 3x + sin 5x = sin 4x . Применяя формулу суммы синусов sin 3x + sin 5x = 2sin 4x cos x , получаем: 2sin 4x cos x - sin 4x = 0 <=> 2sin 4x (cos x - (1)/(2)) = 0. Отсюда: 1. sin 4x = 0 => 4x = pi k => x = (pi k)/(4), k in Z ; 2. cos x = (1)/(2) => x = +-(pi)/(3) + 2pi n, n in Z . Отберём корни на отрезке [pi; (3pi)/(2)] . Из серии x = (pi k)/(4) требуется pi (pi k)/(4) (3pi)/(2) , то есть 4 k 6 . Получаем: - при k = 4 : x = pi ; - при k = 5 : x = (5pi)/(4) ; - при k = 6 : x = (3pi)/(2) . Корни серии x = +-(pi)/(3) + 2pi n на этот отрезок не попадают (ближайшие (5pi)/(3) и (7pi)/(3) — за границами). Ответ: а) (pi k)/(4); +-(pi)/(3) + 2pi n, k, n in Z б) pi; (5pi)/(4); (3pi)/(2)

А) $x = \dfrac{\pi k}{4}$, $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$, $k, n \in \mathbb{Z}$; Б) $\pi$, $\dfrac{5\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{2}$.