Задача №17134

При $x\ne 0$ и $x\ne 2$ функцию можно упростить:

$$f(x)=\frac{x^2+2x}{x^2-2x}=\frac{x(x+2)}{x(x-2)}=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}.$$

Найдем производную функции:
$f^{\prime }(x)=-\frac{4}{(x-2{)}^2}\text{.}$

Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания. По условию угол равен $135^{\circ }\text{,}$ следовательно, $\mathrm{tg}135^{\circ }=-1\text{.}$ Составим уравнение:

$$-\frac{4}{(x-2{)}^2}=-1.$$

Из уравнения получаем $(x-2{)}^2=4\text{,}$ откуда $x-2=2$ или $x-2=-2\text{.}$

Рассмотрим полученные значения абсциссы:
1. $x=4\text{.}$
2. $x=0$ — не подходит, так как точка исключена из области определения функции.

Найдем ординату точки при $x=4\text{:}$

$$f(4)=1+\frac{4}{4-2}=1+2=3.$$

Ответ: 3