На графике функции f(x) = (x^2 + 2x)/(x^2 - 2x) найдите точку, в которой касательная к этому графику образует с положительным направлением оси абсцисс угол 135^ . В ответе укажите ординату этой точки.

При x != 0 и x != 2 функцию можно упростить: f(x) = (x^2 + 2x)/(x^2 - 2x) = (x(x + 2))/(x(x - 2)) = (x + 2)/(x - 2) = 1 + (4)/(x - 2). Найдем производную функции: f'(x) = -(4)/((x - 2)^2) . Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания. По условию угол равен 135^ , следовательно, tg 135^ = -1 . Составим уравнение: -(4)/((x - 2)^2) = -1. Из уравнения получаем (x - 2)^2 = 4 , откуда x - 2 = 2 или x - 2 = -2 . Рассмотрим полученные значения абсциссы: 1. x = 4 . 2. x = 0 — не подходит, так как точка исключена из области определения функции. Найдем ординату точки при x = 4 : f(4) = 1 + (4)/(4 - 2) = 1 + 2 = 3. Ответ: 3

3