Решите неравенство _((x^2)/(4)) ( (1)/((x-1)^4) ) + _((x-1)^2) ( (x^4)/(16) ) 0 .

ОДЗ: x != 0 , x != 1 , (x^2)/(4) != 1 и (x-1)^2 != 1 , то есть x != +- 2 и x != 0; 2 . Итого x not in -2; 0; 1; 2 . Перейдём к натуральным логарифмам. Используя (1)/((x-1)^4) = ((x-1)^2)^(-2) и (x^4)/(16) = ((x^2)/(4))^2 : (-2ln(x-1)^2)/(ln(x^2/4)) + (2ln(x^2/4))/(ln(x-1)^2) 0 <=> ((ln(x^2/4))^2 - (ln(x-1)^2)^2)/(ln(x^2/4) * ln(x-1)^2) 0. Разложим числитель: (ln ( x^2/4(x-1)^2 ) * ln ( x^24 * (x-1)^2 ))/(ln(x^2/4) * ln(x-1)^2) 0. Заменим ln a его аргументом a - 1 (знак сохраняется при a > 0 ): ((x^24 - (x-1)^2) (x^2(x-1)^24 - 1))/((x^24-1) ((x-1)^2 - 1)) 0. Упростим (множитель 4 в каждой скобке сокращается): (x^2)/(4) - (x-1)^2 = (x^2 - 4(x-1)^2)/(4) = -((3x-2)(x-2))/(4); (x^2(x-1)^2)/(4) - 1 = ((x(x-1) - 2)(x(x-1) + 2))/(4) = ((x-2)(x+1)(x^2-x+2))/(4), где x^2 - x + 2 > 0 ; (x^2)/(4) - 1 = ((x-2)(x+2))/(4); (x-1)^2 - 1 = x(x-2). После сокращений и переноса знака: ((x+1)(3x-2))/(x(x+2)) 0. Метод интервалов на R -2; 0; 1; 2 (нули числителя -1; 2/3 ; нули знаменателя -2; 0 ): x in (-2; -1] U (0; (2)/(3)]. Ответ: x in (-2; -1] U (0; (2)/(3)] .

$x \in (-2;\,-1] \cup \left(0;\,\dfrac{2}{3}\right]$