Задача №17133

Решите неравенство
${\log }_{\frac{x^2}{4}}\left(\frac{1}{(x-1{)}^4}\right)+{\log }_{(x-1{)}^2}\left(\frac{x^4}{16}\right)⩾0\text{.}$

ОДЗ: $x\ne 0\text{,}$ $x\ne 1\text{,}$ $\frac{x^2}{4}\ne 1$ и $(x-1{)}^2\ne 1\text{,}$ то есть $x\ne \pm 2$ и $x\ne 0;2\text{.}$ Итого $x\notin \{-2;0;1;2\}\text{.}$

Перейдём к натуральным логарифмам. Используя $\frac{1}{(x-1{)}^4}={\left((x-1{)}^2\right)}^{-2}$ и $\frac{x^4}{16}={\left(\frac{x^2}{4}\right)}^2\text{:}$

Разложим числитель:

Заменим $\ln a$ его аргументом $a-1$ (знак сохраняется при $a>0$):

Упростим (множитель 4 в каждой скобке сокращается):

где $x^2-x+2>0\text{;}$

После сокращений и переноса знака:

Метод интервалов на $\mathbb{R}\setminus \{-2;0;1;2\}$ (нули числителя $-1;2/3\text{;}$ нули знаменателя $-2;0$):

Ответ: $x\in (-2;-1]\cup \left(0;\frac{2}{3}\right]\text{.}$