В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки P и Q — середины сторон AB и CD соответственно, точки E и F — середины AC и BD соответственно. а) Докажите, что отрезок PQ делит точкой пересечения отрезок EF пополам. б) Найдите EF , если BC = 12 , AD = 14 , а PQ = 8 .

а) В треугольнике ADB точки F и P — середины сторон BD и AB соответственно. Тогда FP — средняя линия, поэтому FP AD, FP = (1)/(2) AD. Аналогично в треугольнике ADC точки E и Q — середины AC и CD , поэтому EQ — средняя линия: EQ AD, EQ = (1)/(2) AD. Значит, FP EQ и FP = EQ . Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны, то это параллелограмм. Следовательно, FPEQ — параллелограмм, и его диагонали PQ и EF , пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам, что и требовалось доказать. б) В параллелограмме FPEQ сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: EF^2 + PQ^2 = 2 PF^2 + 2 FQ^2. Вычислим длины: 1. PF = (1)/(2) AD = (1)/(2) * 14 = 7 (доказано в пункте а). 2. FQ — средняя линия треугольника BDC ( F — середина BD , Q — середина CD ), значит, FQ BC и FQ = (1)/(2) BC = (1)/(2) * 12 = 6 . 3. PQ = 8 (по условию). Подставим значения: EF^2 = 2 * 7^2 + 2 * 6^2 - 8^2 = 98 + 72 - 64 = 106. Следовательно, EF = sqrt(106). Ответ: sqrt(106) .

$EF = \sqrt{106}$