Задача №17126

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно, точки $E$ и $F$ — середины $AC$ и $BD$ соответственно.

а) Докажите, что отрезок $PQ$ делит точкой пересечения отрезок $EF$ пополам.
б) Найдите $EF\text{,}$ если $BC=12\text{,}$ $AD=14\text{,}$ а $PQ=8\text{.}$

а) В треугольнике $ADB$ точки $F$ и $P$ — середины сторон $BD$ и $AB$ соответственно. Тогда $FP$ — средняя линия, поэтому

$$FP\parallel AD,FP=\frac{1}{2}AD.$$

Аналогично в треугольнике $ADC$ точки $E$ и $Q$ — середины $AC$ и $CD\text{,}$ поэтому $EQ$ — средняя линия:

$$EQ\parallel AD,EQ=\frac{1}{2}AD.$$

Значит, $FP\parallel EQ$ и $FP=EQ\text{.}$ Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны, то это параллелограмм. Следовательно, $FPEQ$ — параллелограмм, и его диагонали $PQ$ и $EF\text{,}$ пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам, что и требовалось доказать.

б) В параллелограмме $FPEQ$ сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

$$E{F}^2+P{Q}^2=2P{F}^2+2F{Q}^2.$$

Вычислим длины:

1. $PF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot 14=7$ (доказано в пункте а).
2. $FQ$ — средняя линия треугольника $BDC$ ($F$ — середина $BD\text{,}$ $Q$ — середина $CD$), значит, $FQ\parallel BC$ и $FQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{.}$
3. $PQ=8$ (по условию).

Подставим значения:

$$E{F}^2=2\cdot 7^2+2\cdot 6^2-8^2=98+72-64=106.$$

Следовательно,

$$EF=\sqrt{106}.$$

Ответ: $\sqrt{106}\text{.}$