Задача №17125

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}(x^2+y^2-2)\sqrt{(y+ax-1)(y+ax)}=0,\\ |x|+|y|=2\end{array}$$

имеет ровно семь решений.

Исходная система равносильна совокупности систем:

1.

$$\{\begin{array}{l}(y+ax-1)(y+ax)=0,\\ |x|+|y|=2;\end{array}$$

2.

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=2,\\ |x|+|y|=2,\\ (y+ax-1)(y+ax)⩾0.\end{array}$$

Уравнение $|x|+|y|=2$ задаёт квадрат $K$ с вершинами $(\pm 2;0)$ и $(0;\pm 2)\text{.}$

Уравнение $(y+ax-1)(y+ax)=0$ задаёт пару параллельных прямых ${\ell }_1:y=-ax$ и ${\ell }_2:y=1-ax$ с угловым коэффициентом $-a\text{.}$ Прямая ${\ell }_1$ проходит через точку $(0;0)\text{,}$ а ${\ell }_2$ — через точку $(0;1)\text{.}$ Обе эти точки являются внутренними точками квадрата $K\text{,}$ поэтому при любом значении $a$ каждая прямая пересекает границы квадрата $K$ ровно в двух точках. Следовательно, система (1) при любом $a$ даёт ровно 4 решения.

Чтобы суммарно у исходной системы было 7 решений, система (2) должна давать ровно 3 решения, отличных от решений системы (1).

Окружность $x^2+y^2=2$ имеет радиус $\sqrt{2}$ и вписана в квадрат $K$ (расстояние от начала координат до сторон квадрата равно $\sqrt{2}$). Поэтому общими у окружности и квадрата являются 4 точки: $(\pm 1;\pm 1)\text{.}$

Каждая из этих четырёх точек удовлетворяет системе (2) тогда и только тогда, когда выполняется условие $(y+ax-1)(y+ax)⩾0\text{:}$

1. Точка $(-1;-1)\text{:}$ $(-2-a)(-1-a)⩾0\iff a⩽-2$ или $a⩾-1\text{.}$ Точка совпадает с решением системы (1) при $a=-2$ и $a=-1\text{.}$
2. Точка $(-1;1)\text{:}$ $(-a)(1-a)⩾0\iff a⩽0$ или $a⩾1\text{.}$ Точка совпадает с решением системы (1) при $a=0$ и $a=1\text{.}$
3. Точка $(1;-1)\text{:}$ $(-2+a)(-1+a)⩾0\iff a⩽1$ или $a⩾2\text{.}$ Точка совпадает с решением системы (1) при $a=1$ и $a=2\text{.}$
4. Точка $(1;1)\text{:}$ $a(1+a)⩾0\iff a⩽-1$ или $a⩾0\text{.}$ Точка совпадает с решением системы (1) при $a=-1$ и $a=0\text{.}$

Подсчитаем число новых решений системы (2), не совпадающих с решениями системы (1):

• $a<-2\text{:}$ 4 новых решения (все 4 точки) — итого 8;
• $a\in [-2;-1)\text{:}$ 3 новых решения — итого 7;
• $a=-1\text{:}$ 2 новых решения — итого 6;
• $a\in (-1;0)\text{:}$ 3 новых решения — итого 7;
• $a=0\text{:}$ 2 новых решения — итого 6;
• $a\in (0;1)\text{:}$ 3 новых решения — итого 7;
• $a=1\text{:}$ 2 новых решения — итого 6;
• $a\in (1;2]\text{:}$ 3 новых решения — итого 7;
• $a>2\text{:}$ 4 новых решения — итого 8.

Ответ: $a\in [-2;-1)\cup (-1;0)\cup (0;1)\cup (1;2]\text{.}$