Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений cases (x^2 + y^2 - 2)sqrt((y + ax - 1)(y + ax)) = 0, |x| + |y| = 2 cases имеет ровно семь решений.

Исходная система равносильна совокупности систем: 1. cases (y + ax - 1)(y + ax) = 0, |x| + |y| = 2; cases 2. cases x^2 + y^2 = 2, |x| + |y| = 2, (y + ax - 1)(y + ax) 0. cases Уравнение |x| + |y| = 2 задаёт квадрат K с вершинами (+- 2; 0) и (0; +- 2) . Уравнение (y + ax - 1)(y + ax) = 0 задаёт пару параллельных прямых _1 y = -ax и _2 y = 1 - ax с угловым коэффициентом -a . Прямая _1 проходит через точку (0; 0) , а _2 — через точку (0; 1) . Обе эти точки являются внутренними точками квадрата K , поэтому при любом значении a каждая прямая пересекает границы квадрата K ровно в двух точках. Следовательно, система (1) при любом a даёт ровно 4 решения. Чтобы суммарно у исходной системы было 7 решений, система (2) должна давать ровно 3 решения, отличных от решений системы (1). Окружность x^2 + y^2 = 2 имеет радиус sqrt(2) и вписана в квадрат K (расстояние от начала координат до сторон квадрата равно sqrt(2) ). Поэтому общими у окружности и квадрата являются 4 точки: (+- 1; +- 1) . Каждая из этих четырёх точек удовлетворяет системе (2) тогда и только тогда, когда выполняется условие (y + ax - 1)(y + ax) 0 : 1. Точка (-1; -1) : (-2 - a)(-1 - a) 0 <=> a -2 или a -1 . Точка совпадает с решением системы (1) при a = -2 и a = -1 . 2. Точка (-1; 1) : (-a)(1 - a) 0 <=> a 0 или a 1 . Точка совпадает с решением системы (1) при a = 0 и a = 1 . 3. Точка (1; -1) : (-2 + a)(-1 + a) 0 <=> a 1 или a 2 . Точка совпадает с решением системы (1) при a = 1 и a = 2 . 4. Точка (1; 1) : a(1 + a) 0 <=> a -1 или a 0 . Точка совпадает с решением системы (1) при a = -1 и a = 0 . Подсчитаем число новых решений системы (2), не совпадающих с решениями системы (1): - a < -2 : 4 новых решения (все 4 точки) — итого 8; - a in [-2; -1) : 3 новых решения — итого 7; - a = -1 : 2 новых решения — итого 6; - a in (-1; 0) : 3 новых решения — итого 7; - a = 0 : 2 новых решения — итого 6; - a in (0; 1) : 3 новых решения — итого 7; - a = 1 : 2 новых решения — итого 6; - a in (1; 2] : 3 новых решения — итого 7; - a > 2 : 4 новых решения — итого 8. Ответ: a in [-2; -1) U (-1; 0) U (0; 1) U (1; 2] .

$a\in[-2;\,-1)\cup(-1;\,0)\cup(0;\,1)\cup(1;\,2]$.