Задача №17124

Решите уравнение
$\frac{{\log }_4\left(\frac{x}{25}\right)}{{\log }_2(5x)}=\frac{{\log }_2(\sqrt[4]{5}\cdot x)}{{\log }_4\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)}\text{.}$

Если корней несколько, в ответе укажите больший из них.

ОДЗ: $x>0\text{,}$ $x\ne \frac{1}{5}$ (так как ${\log }_2(5x)\ne 0$), $x\ne \sqrt{5}$ (так как ${\log }_4(x/\sqrt{5})\ne 0$).

Приведём все логарифмы к основанию 2. Пусть $t={\log }_{2}x\text{,}$ $L={\log }_{2}5\text{.}$ Тогда:

$${\log }_4\left(\frac{x}{25}\right)=\frac{1}{2}(t-2L),{\log }_2(5x)=L+t,$$ $${\log }_2(\sqrt[4]{5}\cdot x)=\frac{L}{4}+t,{\log }_4\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)=\frac{1}{2}\left(t-\frac{L}{2}\right).$$

Уравнение принимает вид $\frac{(t-2L)/2}{L+t}=\frac{L/4+t}{(t-L/2)/2}\text{,}$ что после перекрёстного умножения даёт:

$$\frac{1}{4}(t-2L)\left(t-\frac{L}{2}\right)=(t+L)\left(t+\frac{L}{4}\right).$$

Раскрыв скобки:

$$-\frac{3}{4}{t}^2-\frac{15}{8}Lt=0,\text{или}t\left(t+\frac{5L}{2}\right)=0.$$

1. $t=0\Rightarrow x=1\text{.}$
2. $t=-\frac{5L}{2}\Rightarrow x=5^{-5/2}=\frac{1}{25\sqrt{5}}\text{.}$

Оба корня принадлежат ОДЗ. Больший из них — 1.

Ответ: 1