Задача №17123

а) Решите уравнение
${\log }_{8x-12-x^2}(x-2)={\log }_{18-3x}(x-2)\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\sqrt{{\log }_{0,2}0,3};{\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{30}\right]\text{.}$

Применим формулу перехода к новому основанию логарифма. Уравнение равносильно:

$$\frac{\ln (x-2)}{\ln (8x-12-x^2)}=\frac{\ln (x-2)}{\ln (18-3x)}\iff \ln (x-2)\cdot \left(\frac{1}{\ln (8x-12-x^2)}-\frac{1}{\ln (18-3x)}\right)=0\iff$$ $$\iff \frac{\ln (x-2)\cdot (\ln (18-3x)-\ln (8x-12-x^2))}{\ln (8x-12-x^2)\cdot \ln (18-3x)}=0.$$

Уравнение равносильно совокупности двух систем:

1. $\{\begin{array}{l}\ln (x-2)=0,\\ \ln (8x-12-x^2)\cdot \ln (18-3x)\ne 0;\end{array}$

2. $\{\begin{array}{l}\ln (18-3x)=\ln (8x-12-x^2),\\ x>2,\\ \ln (8x-12-x^2)\cdot \ln (18-3x)\ne 0.\end{array}$

Рассмотрим первую систему:
$x-2=1\Rightarrow x=3\text{.}$
Проверка: $8\cdot 3-12-9=3>0$ и $3\ne 1\text{;}$ $18-9=9>0$ и $9\ne 1\text{.}$ Условия выполнены, следовательно, $x=3$ — корень.

Рассмотрим вторую систему. Из равенства логарифмов:

$$18-3x=8x-12-x^2\iff x^2-11x+30=0.$$

Корни квадратного уравнения: $x=5$ и $x=6\text{.}$
С учётом условий $x>2\text{,}$ $18-3x>0$ (то есть $x<6$) и $18-3x\ne 1$ (то есть $x\ne 17/3$) остаётся только $x=5\text{.}$

Объединение решений: $x\in \{3;5\}\text{.}$

б) Оценим границы отрезка $\left[\sqrt{{\log }_{0,2}0,3};{\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{30}\right]\text{.}$

Так как $0,2<0,3<1$ и функция $y={\log }_{0,2}t$ убывает, то $0<{\log }_{0,2}0,3<1\text{,}$ откуда $0<\sqrt{{\log }_{0,2}0,3}<1\text{.}$

Для правой границы:

$${\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{30}=\frac{(1/2){\log }_{2}30}{1/2}={\log }_{2}30.$$

Так как $16<30<32\text{,}$ то $4<{\log }_{2}30<5\text{.}$

Сравним полученные значения с корнями:
$\sqrt{{\log }_{0,2}0,3}<1<3<4<{\log }_{2}30<5\text{.}$
Следовательно, корень $3$ принадлежит отрезку, а $5$ — нет.

Ответ:

а) $3;5$

б) $3$