а) Решите уравнение _(8x - 12 - x^2)(x - 2) = _(18 - 3x)(x - 2) . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [sqrt(_(0,)2 0,3); _(sqrt(2)) sqrt(30)] .

Применим формулу перехода к новому основанию логарифма. Уравнение равносильно: (ln(x - 2))/(ln(8x - 12 - x^2)) = (ln(x - 2))/(ln(18 - 3x)) <=> ln(x - 2) * ((1)/(ln(8x - 12 - x^2)) - (1)/(ln(18 - 3x))) = 0 <=> <=> (ln(x - 2) * (ln(18 - 3x) - ln(8x - 12 - x^2)))/(ln(8x - 12 - x^2) * ln(18 - 3x)) = 0. Уравнение равносильно совокупности двух систем: 1. cases ln(x - 2) = 0, ln(8x - 12 - x^2) * ln(18 - 3x) != 0; cases 2. cases ln(18 - 3x) = ln(8x - 12 - x^2), x > 2, ln(8x - 12 - x^2) * ln(18 - 3x) != 0. cases Рассмотрим первую систему: x - 2 = 1 => x = 3 . Проверка: 8 * 3 - 12 - 9 = 3 > 0 и 3 != 1 ; 18 - 9 = 9 > 0 и 9 != 1 . Условия выполнены, следовательно, x = 3 — корень. Рассмотрим вторую систему. Из равенства логарифмов: 18 - 3x = 8x - 12 - x^2 <=> x^2 - 11x + 30 = 0. Корни квадратного уравнения: x = 5 и x = 6 . С учётом условий x > 2 , 18 - 3x > 0 (то есть x < 6 ) и 18 - 3x != 1 (то есть x != 17/3 ) остаётся только x = 5 . Объединение решений: x in 3; 5 . б) Оценим границы отрезка [sqrt(_(0,)2 0,3); _(sqrt(2)) sqrt(30)] . Так как 0,2 < 0,3 < 1 и функция y = _(0,)2 t убывает, то 0 < _(0,)2 0,3 < 1 , откуда 0 < sqrt(_(0,)2 0,3) < 1 . Для правой границы: _(sqrt(2)) sqrt(30) = ((1/2) _2 30)/(1/2) = _2 30. Так как 16 < 30 < 32 , то 4 < _2 30 < 5 . Сравним полученные значения с корнями: sqrt(_(0,)2 0,3) < 1 < 3 < 4 < _2 30 < 5 . Следовательно, корень 3 принадлежит отрезку, а 5 — нет. Ответ: а) 3; 5 б) 3

А) $\{3;\ 5\}$. Б) $3$.