Решите уравнение ((5)/(3))^(x+1) * ((9)/(25))^(x^2+2x-11) = ((5)/(3))^9 . Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите меньший из них.

Задача №17122: Простейшие уравнения

Заметим, что $\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^{2} = (\frac{5}{3})^{- 2} .$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

(\frac{5}{3})^{x + 1} \cdot (\frac{5}{3})^{- 2 (x^{2} + 2 x - 11)} = (\frac{5}{3})^{9} .

Приравняем показатели степеней:

x + 1 - 2 (x^{2} + 2 x - 11) = 9.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

x + 1 - 2 x^{2} - 4 x + 22 = 9;

- 2 x^{2} - 3 x + 14 = 0;

2 x^{2} + 3 x - 14 = 0.

Вычислим дискриминант:

D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 14) = 9 + 112 = 121 = 1 1^{2} .

Найдём корни уравнения:

x_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 11}{4} \Rightarrow x_{1} = 2, x_{2} = - 3, 5.

Меньшим из корней является $- 3, 5 .$

Ответ: $- 3, 5$