На рисунке изображены векторы a , b и c на плоскости (вектор c перпендикулярен a , угол между a и b равен 135^ ). Известно, что |a| = |c| = 1 , |b| = sqrt(2) . Найдите a * b + b * c + a * c .

Из условия: |a| = |c| = 1 , |b| = sqrt(2) , c a , угол между a и b равен 135^ . Введём прямоугольную систему координат так, чтобы a = (0; 1) . По рисунку c направлен влево, то есть c = (-1; 0) . Вектор b получается из a поворотом на 135^ по часовой стрелке (по рисунку b лежит в правом нижнем квадранте), длина sqrt(2) , поэтому b = sqrt(2) * (sin 135^; -cos 135^) = (1; -1). Вычислим попарные скалярные произведения по формуле u * v = |u| * |v| cos(u; v) . 1. a * c = 1 * 1 * cos 90^ = 0 . 2. a * b = 1 * sqrt(2) * cos 135^ = sqrt(2) * ( -(sqrt(2))/(2) ) = -1 . 3. Угол между b = (1; -1) и c = (-1; 0) : cos(b; c) = (1 * (-1) + (-1) * 0)/(sqrt(2) * 1) = -(1)/(sqrt(2)), то есть угол тоже равен 135^ . Тогда b * c = sqrt(2) * 1 * cos 135^ = -1 . Итого: a * b + b * c + a * c = -1 + (-1) + 0 = -2. Ответ: -2 .

-2