Задача №17121

Из условия: $|\vec{a}|=|\vec{c}|=1\text{,}$ $|\vec{b}|=\sqrt{2}\text{,}$ $\vec{c}\perp \vec{a}\text{,}$ угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $135^{\circ }\text{.}$

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы $\vec{a}=(0;1)\text{.}$ По рисунку $\vec{c}$ направлен влево, то есть $\vec{c}=(-1;0)\text{.}$ Вектор $\vec{b}$ получается из $\vec{a}$ поворотом на $135^{\circ }$ по часовой стрелке (по рисунку $\vec{b}$ лежит в правом нижнем квадранте), длина $\sqrt{2}\text{,}$ поэтому

$$\vec{b}=\sqrt{2}\cdot (\sin 135^{\circ };-\cos 135^{\circ })=(1;-1).$$

Вычислим попарные скалярные произведения по формуле $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cos \angle (\vec{u};\vec{v})\text{.}$

1. $\vec{a}\cdot \vec{c}=1\cdot 1\cdot \cos 90^{\circ }=0\text{.}$
2. $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot \sqrt{2}\cdot \cos 135^{\circ }=\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1\text{.}$
3. Угол между $\vec{b}=(1;-1)$ и $\vec{c}=(-1;0)\text{:}$

$$\cos \angle (\vec{b};\vec{c})=\frac{1\cdot (-1)+(-1)\cdot 0}{\sqrt{2}\cdot 1}=-\frac{1}{\sqrt{2}},$$

то есть угол тоже равен $135^{\circ }\text{.}$ Тогда $\vec{b}\cdot \vec{c}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot \cos 135^{\circ }=-1\text{.}$

Итого:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{a}\cdot \vec{c}=-1+(-1)+0=-2.$$

Ответ: $-2\text{.}$