Задача №17119

Введём систему координат с центром $O$ основания $ABC$ в начале координат и осью $Oz\text{,}$ проходящей через вершину $S\text{.}$ Поскольку $AB=12\text{,}$ медиана основания равна $6\sqrt{3}\text{,}$ тогда $OA=4\sqrt{3}\text{,}$ $OK=2\sqrt{3}$ (где $K$ — середина $BC$).

Координаты точек: $B=(-6;-2\sqrt{3};0)\text{,}$ $C=(6;-2\sqrt{3};0)\text{,}$ $A=(0;4\sqrt{3};0)\text{,}$ $K=(0;-2\sqrt{3};0)\text{.}$ Высота $SO$ находится из условия $SK=4$ и $OK=2\sqrt{3}\text{:}$ $SO=\sqrt{16-12}=2\text{,}$ поэтому $S=(0;0;2)\text{.}$

Найдем координаты векторов:

$$\overrightarrow{SK}=K-S=(0;-2\sqrt{3};-2),\overrightarrow{AB}=B-A=(-6;-6\sqrt{3};0).$$

Проверка длин векторов:
$|\overrightarrow{SK}|=\sqrt{0+12+4}=4\text{,}$ $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{36+108}=12\text{.}$

Скалярное произведение векторов:

$$\overrightarrow{SK}\cdot \overrightarrow{AB}=0\cdot (-6)+(-2\sqrt{3})\cdot (-6\sqrt{3})+(-2)\cdot 0=36.$$

Косинус угла $\phi$ между прямыми:

$$\cos \phi =\frac{|36|}{4\cdot 12}=\frac{36}{48}=0,75.$$

Ответ: $0,75\text{.}$