В правильной треугольной пирамиде SABC K — середина ребра BC , S — вершина. Известно, что AB = 12 и SK = 4 . Найдите косинус угла между прямыми SK и AB .

Введём систему координат с центром O основания ABC в начале координат и осью Oz , проходящей через вершину S . Поскольку AB = 12 , медиана основания равна 6sqrt(3) , тогда OA = 4sqrt(3) , OK = 2sqrt(3) (где K — середина BC ). Координаты точек: B = (-6; -2sqrt(3); 0) , C = (6; -2sqrt(3); 0) , A = (0; 4sqrt(3); 0) , K = (0; -2sqrt(3); 0) . Высота SO находится из условия SK = 4 и OK = 2sqrt(3) : SO = sqrt(16 - 12) = 2 , поэтому S = (0; 0; 2) . Найдем координаты векторов: SK = K - S = (0; -2sqrt(3); -2), AB = B - A = (-6; -6sqrt(3); 0). Проверка длин векторов: |SK| = sqrt(0 + 12 + 4) = 4 , |AB| = sqrt(36 + 108) = 12 . Скалярное произведение векторов: SK * AB = 0 * (-6) + (-2sqrt(3)) * (-6sqrt(3)) + (-2) * 0 = 36. Косинус угла между прямыми: cos = (|36|)/(4 * 12) = (36)/(48) = 0,75. Ответ: 0,75 .

0,75