Задача №17114

Решите уравнение $x^6-65x^3+64=0\text{.}$ Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Заменим $y=x^3\text{.}$ Тогда

По теореме Виета $y_1+y_2=65\text{,}$ $y_1\cdot y_2=64\text{.}$ Корни — $y_1=1\text{,}$ $y_2=64\text{.}$

Возвращаемся к $x\text{:}$

1. $x^3=1\Rightarrow x=1\text{;}$
2. $x^3=64\Rightarrow x=4\text{.}$

Меньший корень — $1\text{.}$

Ответ: 1.