Задача №17112

$ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ — куб с ребром $\sqrt{6}\text{.}$ Найдите расстояние между прямыми $A_{1}B$ и $B_{1}D\text{.}$

Введём декартову систему координат: $A(0;0;0)\text{,}$ $B(a;0;0)\text{,}$ $C(a;a;0)\text{,}$ $D(0;a;0)\text{,}$ $A_1(0;0;a)\text{,}$ $B_1(a;0;a)\text{,}$ $C_1(a;a;a)\text{,}$ $D_1(0;a;a)\text{,}$ где $a=\sqrt{6}\text{.}$

Прямая $A_{1}B$ проходит через точку $A_1(0;0;a)$ с направляющим вектором $\vec{u}=B-A_1=(a;0;-a)\text{.}$ Упростим его, разделив на $a\text{:}$ $\vec{u}=(1;0;-1)\text{.}$

Прямая $B_{1}D$ проходит через точку $B_1(a;0;a)$ с направляющим вектором $\vec{v}=D-B_1=(-a;a;-a)\text{.}$ Упростим его: $\vec{v}=(-1;1;-1)\text{.}$

Найдём векторное произведение направляющих векторов:

Вычислим модуль полученного вектора:

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{A_1{B}_1}=(a;0;0)=(\sqrt{6};0;0)\text{.}$

Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле:

Ответ: 1