ABCDA_1B_1C_1D_1 — куб с ребром sqrt(6) . Найдите расстояние между прямыми A_1B и B_1D .

Введём декартову систему координат: A(0; 0; 0) , B(a; 0; 0) , C(a; a; 0) , D(0; a; 0) , A_1(0; 0; a) , B_1(a; 0; a) , C_1(a; a; a) , D_1(0; a; a) , где a = sqrt(6) . Прямая A_1B проходит через точку A_1(0; 0; a) с направляющим вектором u = B - A_1 = (a; 0; -a) . Упростим его, разделив на a : u = (1; 0; -1) . Прямая B_1D проходит через точку B_1(a; 0; a) с направляющим вектором v = D - B_1 = (-a; a; -a) . Упростим его: v = (-1; 1; -1) . Найдём векторное произведение направляющих векторов: u * v = vmatrix i & j & k 1 & 0 & -1 -1 & 1 & -1 vmatrix = (0 * (-1) - (-1) * 1; (-1) * (-1) - 1 * (-1); 1 * 1 - 0 * (-1)) = (1; 2; 1). Вычислим модуль полученного вектора: |u * v| = sqrt(1^2 + 2^2 + 1^2) = sqrt(6). Рассмотрим вектор A_1B_1 = (a; 0; 0) = (sqrt(6); 0; 0) . Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле: d = (|A_1B_1 * (u * v)|)/(|u * v|) = (|sqrt(6) * 1 + 0 + 0|)/(sqrt(6)) = (sqrt(6))/(sqrt(6)) = 1. Ответ: 1

1