В правильном тетраэдре ABCD расположен конус, вершина которого является серединой ребра CD. Основание конуса вписано в сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра BC параллельно прямым CD и AB.
а) Докажите, что указанное сечение тетраэдра является квадратом.
б) Вычислите объём данного конуса, если ребро тетраэдра равно 12.
а) Доказательство, что сечение MQPN — квадрат.
Правильный тетраэдр — треугольная пирамида, у которой все рёбра равны. Следовательно, все четыре грани — равносторонние треугольники со стороной a=12.
Пусть H — середина AB, S — середина CD. Тогда AB⊥DH и AB⊥CH (как медианы и высоты в равносторонних треугольниках ABD и ABC). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AB⊥(DCH), значит AB⊥DC.
Стороны сечения параллельны CD и AB (MQ∥PN∥AB, MN∥PQ∥CD), поэтому MQ,PN⊥MN,PQ — сечение является прямоугольником. Кроме того, стороны сечения — средние линии равных равносторонних треугольников, и потому все равны 2a. Значит, сечение — квадрат, что и требовалось доказать.
б) Основание конуса — круг, вписанный в квадрат со стороной 2a=6. Радиус: r=21⋅2a=4a=3. Площадь основания: Sосн=πr2=9π.
Высота конуса SO=21HS, где HS — высота треугольника CHD.
1. DH=CH=2a3=63 (высоты граней);
2. DS=2a=6 (так как S — середина CD);
3. HS=DH2−DS2=(63)2−62=108−36=72=62.
Тогда SO=21⋅62=32.
Объём конуса:
V=31Sосн⋅SO=31⋅9π⋅32=9π2.Ответ: 9π2.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин