В правильном тетраэдре ABCD расположен конус, вершина которого является серединой ребра CD . Основание конуса вписано в сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра BC параллельно прямым CD и AB . а) Докажите, что указанное сечение тетраэдра является квадратом. б) Вычислите объём данного конуса, если ребро тетраэдра равно 12.

а) Доказательство, что сечение MQPN — квадрат. Правильный тетраэдр — треугольная пирамида, у которой все рёбра равны. Следовательно, все четыре грани — равносторонние треугольники со стороной a = 12 . Пусть H — середина AB , S — середина CD . Тогда AB DH и AB CH (как медианы и высоты в равносторонних треугольниках ABD и ABC ). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AB (DCH) , значит AB DC . Стороны сечения параллельны CD и AB ( MQ PN AB , MN PQ CD ), поэтому MQ, PN MN, PQ — сечение является прямоугольником. Кроме того, стороны сечения — средние линии равных равносторонних треугольников, и потому все равны (a)/(2) . Значит, сечение — квадрат, что и требовалось доказать. б) Основание конуса — круг, вписанный в квадрат со стороной (a)/(2) = 6 . Радиус: r = (1)/(2) * (a)/(2) = (a)/(4) = 3 . Площадь основания: S_(осн) = pi r^2 = 9pi . Высота конуса SO = (1)/(2)HS , где HS — высота треугольника CHD . 1. DH = CH = (asqrt(3))/(2) = 6sqrt(3) (высоты граней); 2. DS = (a)/(2) = 6 (так как S — середина CD ); 3. HS = sqrt(DH^2 - DS^2) = sqrt((63)^2 - 6^2) = sqrt(108 - 36) = sqrt(72) = 6sqrt(2) . Тогда SO = (1)/(2) * 6sqrt(2) = 3sqrt(2) . Объём конуса: V = (1)/(3) S_(осн) * SO = (1)/(3) * 9pi * 3sqrt(2) = 9(2). Ответ: 9(2) .

$9\pi\sqrt{2}$