Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
Найдите все значения a, при каждом из которых система
⎩⎨⎧−5−x2−2x(y+(x+2)2)(y+(x+2)2−6)=0,y−x(x+4)+a2=6a−10имеет ровно три решения.
Рассмотрим первое уравнение системы. Знаменатель −5−x2−2x всегда отрицателен (значит, отличен от нуля) при условии существования корня, то есть при x2−2x⩾0⇔x⩽0 или x⩾2. На этой области уравнение равносильно равенству нулю числителя. Учитывая, что (x+2)2=∣x+2∣, получаем:
(y+∣x+2∣)(y+∣x+2∣−6)=0⇔y=−∣x+2∣ или y=6−∣x+2∣.Это две «галочки» (с ветвями вниз и вверх) с общей абсциссой вершины x=−2, рассматриваемые при x⩽0 или x⩾2.
Рассмотрим второе уравнение системы:
y=x(x+4)+6a−10−a2=(x+2)2−4−a2+6a−10=(x+2)2−((a−3)2+5).Обозначим b=(a−3)2+5. Тогда b⩾5, а второе уравнение задаёт параболу y=(x+2)2−b с вершиной в точке (−2;−b) и ветвями, направленными вверх.
Проанализируем количество решений. Граничные точки в области x⩽0 или x⩾2 для двух «галочек»:
1. A(0;−2) — точка графика y=−∣x+2∣ при x=0. Подставляя в уравнение параболы: −2=4−b⇒b=6.
2. B(2;−4) — точка графика y=−∣x+2∣ при x=2. Подставляя: −4=16−b⇒b=20.
3. C(2;2) — точка графика y=6−∣x+2∣ при x=2. Подставляя: 2=16−b⇒b=14.
4. D(0;4) — точка графика y=6−∣x+2∣ при x=0. Подставляя: 4=4−b⇒b=0, что противоречит условию b⩾5 (значит, эта граница неактивна).
Геометрический анализ положения параболы относительно «галочек» в области x⩽0 или x⩾2 показывает, что ровно три решения возникают, когда 5⩽b⩽6 или 14⩽b<20.
Вернёмся к параметру a. Используя равенство b=(a−3)2+5:
1. 5⩽(a−3)2+5⩽6⇔0⩽(a−3)2⩽1⇔−1⩽a−3⩽1⇔2⩽a⩽4.
2. 14⩽(a−3)2+5<20⇔9⩽(a−3)2<15⇔3⩽∣a−3∣<15.
Второй случай распадается на два промежутка:
−15<a−3⩽−3⇔3−15<a⩽0или
3⩽a−3<15⇔6⩽a<3+15.Ответ: a∈(3−15;0]∪[2;4]∪[6;3+15).