Найдите все значения a , при каждом из которых система cases ((y + sqrt((x+2)^2))(y + sqrt((x+2)^2) - 6))/(-5 - sqrt(x^2 - 2x)) = 0, y - x(x + 4) + a^2 = 6a - 10 cases имеет ровно три решения.

Рассмотрим первое уравнение системы. Знаменатель -5 - sqrt(x^2 - 2x) всегда отрицателен (значит, отличен от нуля) при условии существования корня, то есть при x^2 - 2x 0 <=> x 0 или x 2 . На этой области уравнение равносильно равенству нулю числителя. Учитывая, что sqrt((x+2)^2) = |x + 2| , получаем: (y + |x + 2|)(y + |x + 2| - 6) = 0 <=> y = -|x + 2| или y = 6 - |x + 2|. Это две «галочки» (с ветвями вниз и вверх) с общей абсциссой вершины x = -2 , рассматриваемые при x 0 или x 2 . Рассмотрим второе уравнение системы: y = x(x + 4) + 6a - 10 - a^2 = (x + 2)^2 - 4 - a^2 + 6a - 10 = (x + 2)^2 - ((a - 3)^2 + 5). Обозначим b = (a - 3)^2 + 5 . Тогда b 5 , а второе уравнение задаёт параболу y = (x + 2)^2 - b с вершиной в точке (-2; -b) и ветвями, направленными вверх. Проанализируем количество решений. Граничные точки в области x 0 или x 2 для двух «галочек»: 1. A(0; -2) — точка графика y = -|x + 2| при x = 0 . Подставляя в уравнение параболы: -2 = 4 - b => b = 6 . 2. B(2; -4) — точка графика y = -|x + 2| при x = 2 . Подставляя: -4 = 16 - b => b = 20 . 3. C(2; 2) — точка графика y = 6 - |x + 2| при x = 2 . Подставляя: 2 = 16 - b => b = 14 . 4. D(0; 4) — точка графика y = 6 - |x + 2| при x = 0 . Подставляя: 4 = 4 - b => b = 0 , что противоречит условию b 5 (значит, эта граница неактивна). Геометрический анализ положения параболы относительно «галочек» в области x 0 или x 2 показывает, что ровно три решения возникают, когда 5 b 6 или 14 b < 20 . Вернёмся к параметру a . Используя равенство b = (a - 3)^2 + 5 : 1. 5 (a - 3)^2 + 5 6 <=> 0 (a - 3)^2 1 <=> -1 a - 3 1 <=> 2 a 4 . 2. 14 (a - 3)^2 + 5 < 20 <=> 9 (a - 3)^2 < 15 <=> 3 |a - 3| < sqrt(15) . Второй случай распадается на два промежутка: -sqrt(15) < a - 3 -3 <=> 3 - sqrt(15) < a 0 или 3 a - 3 < sqrt(15) <=> 6 a < 3 + sqrt(15). Ответ: a in (3 - sqrt(15); 0] U [2; 4] U [6; 3 + sqrt(15)) .

$a \in (3 - \sqrt{15};\ 0] \cup [2;\ 4] \cup [6;\ 3 + \sqrt{15})$