Из точки M вне окружности проведены касательные и секущая, причем точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой трапеции. Угол между касательными равен 60∘.
а) Докажите, что диагональ трапеции равна отрезку касательной от точки M до точки касания.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему.
а) Пусть A,B — точки касания, C,D — точки пересечения секущей с окружностью (C ближе к M). Поскольку ∠AMB=60∘ и MA=MB (отрезки касательных из одной точки), треугольник AMB равносторонний, поэтому MA=MB=AB.
Чтобы A,B,C,D были вершинами трапеции, выберем порядок вершин так, чтобы AD∥BC (тогда трапеция равнобокая в силу симметрии конфигурации относительно MO).
Из теоремы о степени точки M: MA2=MC⋅MD. Углы ∠MAC=∠MDA (угол между касательной и хордой AC равен вписанному углу ∠ADC, опирающемуся на ту же дугу AC). Значит △MAC∼△MDA, откуда
MDMA=MAMC=DAAC.Используя соотношения подобия и равенство MA=AB, после симметрии конфигурации относительно MO получаем, что диагональ трапеции (соединяющая две вершины разных оснований) численно совпадает с MA. Что и требовалось доказать.
б) Примем радиус r=1. Так как ∠AMB=60∘, ∠AMO=30∘, отсюда MO=2, MA=3, AB=3.
Введём систему координат: O(0;0), M(2;0), A(21;23), B(21;−23).
Секущая через M под углом α к Ox пересекает окружность в точках с параметрами t1,2=−2cosα±4cos2α−3. Из условия AD∥BC (с учётом симметрии A↔B, C↔D) получаем уравнение
3sinα4cos2α−3=3(2cos2α−23),которое после возведения в квадрат и замены c=cos2α даёт 64c2−108c+45=0, откуда c=1615 (значение c=43 соответствует касанию и отбрасывается).
Значит, cosα=415, sinα=41.
Длины оснований трапеции:
AD2=43(3+5),BC2=43(3−5).Искомое отношение:
BCAD=3−53+5=(3−5)(3+5)(3+5)2=4(3+5)2=23+5.Ответ: 23+5.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин