Из точки M вне окружности проведены касательные и секущая, причем точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой трапеции. Угол между касательными равен 60^ . а) Докажите, что диагональ трапеции равна отрезку касательной от точки M до точки касания. б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему.

а) Пусть A, B — точки касания, C, D — точки пересечения секущей с окружностью ( C ближе к M ). Поскольку AMB = 60^ и MA = MB (отрезки касательных из одной точки), треугольник AMB равносторонний, поэтому MA = MB = AB . Чтобы A, B, C, D были вершинами трапеции, выберем порядок вершин так, чтобы AD BC (тогда трапеция равнобокая в силу симметрии конфигурации относительно MO ). Из теоремы о степени точки M : MA^2 = MC * MD . Углы MAC = MDA (угол между касательной и хордой AC равен вписанному углу ADC , опирающемуся на ту же дугу AC ). Значит MAC MDA , откуда (MA)/(MD) = (MC)/(MA) = (AC)/(DA). Используя соотношения подобия и равенство MA = AB , после симметрии конфигурации относительно MO получаем, что диагональ трапеции (соединяющая две вершины разных оснований) численно совпадает с MA . Что и требовалось доказать. б) Примем радиус r = 1 . Так как AMB = 60^ , AMO = 30^ , отсюда MO = 2 , MA = sqrt(3) , AB = sqrt(3) . Введём систему координат: O(0; 0) , M(2; 0) , A((1)/(2); (sqrt(3))/(2)) , B((1)/(2); -(sqrt(3))/(2)) . Секущая через M под углом alpha к Ox пересекает окружность в точках с параметрами t_(1, 2) = -2 +- sqrt(4cos^2alpha - 3) . Из условия AD BC (с учётом симметрии A B , C D ) получаем уравнение 3 sqrt(4cos^2alpha - 3) = sqrt(3) (2cos^2alpha - (3)/(2)), которое после возведения в квадрат и замены c = cos^2alpha даёт 64c^2 - 108c + 45 = 0 , откуда c = (15)/(16) (значение c = (3)/(4) соответствует касанию и отбрасывается). Значит, = (sqrt(15))/(4) , = (1)/(4) . Длины оснований трапеции: AD^2 = (3(3 + sqrt(5)))/(4), BC^2 = (3(3 - sqrt(5)))/(4). Искомое отношение: (AD)/(BC) = sqrt((3 + 5)/(3 - 5)) = sqrt(((3 + 5)^2)/((3 - 5)(3 + 5))) = sqrt(((3 + 5)^2)/(4)) = (3 + sqrt(5))/(2). Ответ: (3 + sqrt(5))/(2) .

Б) (3+√5)/2