Задача №17100

Найдите точку максимума функции $y=\sin x-4\cos x-4x\sin x+5\text{,}$ принадлежащую промежутку $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)\text{.}$

Дана функция $y=\sin x-4\cos x-4x\sin x+5$ на промежутке $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)\text{.}$

Продифференцируем:

На интервале $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ имеем $\cos x>0\text{,}$ поэтому знак $y^{\prime }$ совпадает со знаком выражения $1-4x\text{:}$
1. При $x<\frac{1}{4}\text{:}$ $y^{\prime }>0\text{,}$ функция возрастает.
2. При $x>\frac{1}{4}\text{:}$ $y^{\prime }<0\text{,}$ функция убывает.

Значит, $x=\frac{1}{4}=0,25$ — точка максимума.

Ответ: $0,25\text{.}$