Задача №17099

В окружности радиусом $R$ проведены хорды $KL$ и $MN\text{,}$ перпендикулярные друг другу и пересекающиеся в точке $F\text{.}$
а) Докажите, что при этих условиях выполняется равенство $K{N}^2+M{L}^2=4R^2\text{.}$
б) Найдите радиус окружности $R\text{,}$ если $KF=3\text{,}$ $FM=8\text{,}$ $FN=6\text{.}$

а) Пусть $\angle KLN=\alpha \text{.}$ По теореме синусов для $△KLN\text{,}$ вписанного в окружность радиуса $R\text{:}$

В прямоугольном $△LFN$ ($\angle LFN=90^{\circ }\text{,}$ так как $KL\perp MN$) угол $\angle FNL=90^{\circ }-\alpha \text{.}$ Это и угол $\angle MNL$ в $△LMN\text{,}$ вписанном в ту же окружность. По теореме синусов:

Тогда

что и требовалось доказать.

б) По теореме о пересекающихся хордах: $KF\cdot FL=MF\cdot FN\text{,}$ откуда

В прямоугольном $△MFK\text{:}$

В прямоугольном $△MFL$ ($\angle MFL=90^{\circ }$):

поэтому $\sin \angle MLF=\frac{1}{\sqrt{5}}\text{.}$

По теореме синусов для $△MLK\text{,}$ вписанного в окружность:

Следовательно,

Ответ: $\frac{\sqrt{365}}{2}\text{.}$