В окружности радиусом R проведены хорды KL и MN , перпендикулярные друг другу и пересекающиеся в точке F . а) Докажите, что при этих условиях выполняется равенство KN^2 + ML^2 = 4R^2 . б) Найдите радиус окружности R , если KF = 3 , FM = 8 , FN = 6 .

а) Пусть KLN = alpha . По теореме синусов для KLN , вписанного в окружность радиуса R : KN = 2R sin KLN = 2R sin alpha. В прямоугольном LFN ( LFN = 90^ , так как KL MN ) угол FNL = 90^ - alpha . Это и угол MNL в LMN , вписанном в ту же окружность. По теореме синусов: ML = 2R sin MNL = 2R sin(90^ - alpha) = 2R cos alpha. Тогда KN^2 + ML^2 = 4R^2(sin^2 alpha + cos^2 alpha) = 4R^2, что и требовалось доказать. б) По теореме о пересекающихся хордах: KF * FL = MF * FN , откуда 3 * FL = 8 * 6 = 48 => FL = 16. В прямоугольном MFK : MK = sqrt(MF^2 + KF^2) = sqrt(64 + 9) = sqrt(73). В прямоугольном MFL ( MFL = 90^ ): tg MLF = (MF)/(LF) = (8)/(16) = (1)/(2), поэтому sin MLF = (1)/(sqrt(5)) . По теореме синусов для MLK , вписанного в окружность: 2R = (MK)/(sin MLK) = (sqrt(73))/(1/sqrt(5)) = sqrt(365). Следовательно, R = (sqrt(365))/(2). Ответ: (sqrt(365))/(2) .

$\dfrac{\sqrt{365}}{2}$