Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 10, а боковое ребро равно 9. На ребре CC1 отмечена точка M, причём CM=5.
а) Докажите, что прямая OO1 содержит точку пересечения медиан треугольника ABM, где O и O1 — центры окружностей, описанных около треугольников ABC и A1B1C1 соответственно.
б) Найдите расстояние от точки A1 до плоскости ABM.
а) Пусть E — середина AB, O2 — точка пересечения медиан треугольника ABM. Тогда EO2=31EM.
В правильном треугольнике ABC со стороной 10: EC=2103=53. Так как MC⊥плоскости ABC и MC=5, то
EM=EC2+MC2=75+25=10.O — центроид △ABC: EO=31EC=353. Прямая OO1 перпендикулярна плоскости ABC, и в ней нужно найти такую точку O2, чтобы EO2=310.
Из прямоугольного △EOO2 (катет EO в плоскости основания, катет OO2 — по перпендикуляру):
OO2=EO22−EO2=9100−975=925=35.Так как 0<OO2<OO1=9, точка O2 лежит на отрезке OO1, что и требовалось.
б) Поскольку A1B1∥AB и AB⊂плоскости ABM, то A1B1∥плоскости ABM. Значит, расстояние от A1 до плоскости ABM равно расстоянию от середины K ребра A1B1 до этой плоскости.
Плоскость KEC перпендикулярна плоскости ABM (поскольку AB⊥EC и AB⊥EK, то есть AB⊥плоскости KEC). Поэтому расстояние от K до плоскости ABM — это длина перпендикуляра KH из K к прямой EM в плоскости KEC.
В △EMC: ∠C=90∘, MC=5, EC=53, EM=10. Тогда ∠MEC=α, где tgα=ECMC=31, то есть α=30∘.
∠KEC=90∘ (так как KE⊥плоскости ABC). Значит, ∠KEM=90∘−30∘=60∘. KE=OO1=9. В △KEH (∠KHE=90∘):
KH=KE⋅sin60∘=9⋅23=293.Ответ: 293.