В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона основания равна 10 , а боковое ребро равно 9 . На ребре CC_1 отмечена точка M , причём CM = 5 . а) Докажите, что прямая OO_1 содержит точку пересечения медиан треугольника ABM , где O и O_1 — центры окружностей, описанных около треугольников ABC и A_1B_1C_1 соответственно. б) Найдите расстояние от точки A_1 до плоскости ABM .

а) Пусть E — середина AB , O_2 — точка пересечения медиан треугольника ABM . Тогда EO_2 = (1)/(3)EM . В правильном треугольнике ABC со стороной 10 : EC = (10sqrt(3))/(2) = 5sqrt(3) . Так как MC плоскости ABC и MC = 5 , то EM = sqrt(EC^2 + MC^2) = sqrt(75 + 25) = 10. O — центроид ABC : EO = (1)/(3)EC = (5sqrt(3))/(3) . Прямая OO_1 перпендикулярна плоскости ABC , и в ней нужно найти такую точку O_2 , чтобы EO_2 = (10)/(3) . Из прямоугольного EOO_2 (катет EO в плоскости основания, катет OO_2 — по перпендикуляру): OO_2 = sqrt(EO_2^2 - EO^2) = sqrt((100)/(9) - (75)/(9)) = sqrt((25)/(9)) = (5)/(3). Так как 0 < OO_2 < OO_1 = 9 , точка O_2 лежит на отрезке OO_1 , что и требовалось. б) Поскольку A_1B_1 AB и AB c плоскости ABM , то A_1B_1 плоскости ABM . Значит, расстояние от A_1 до плоскости ABM равно расстоянию от середины K ребра A_1B_1 до этой плоскости. Плоскость KEC перпендикулярна плоскости ABM (поскольку AB EC и AB EK , то есть AB плоскости KEC ). Поэтому расстояние от K до плоскости ABM — это длина перпендикуляра KH из K к прямой EM в плоскости KEC . В EMC : C = 90^ , MC = 5 , EC = 5sqrt(3) , EM = 10 . Тогда MEC = alpha , где tg alpha = (MC)/(EC) = (1)/(sqrt(3)) , то есть alpha = 30^ . KEC = 90^ (так как KE плоскости ABC ). Значит, KEM = 90^ - 30^ = 60^ . KE = OO_1 = 9 . В KEH ( KHE = 90^ ): KH = KE * sin 60^ = 9 * (sqrt(3))/(2) = (9sqrt(3))/(2). Ответ: (9sqrt(3))/(2) .

$\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$