Планируется построить новый завод, который ежегодно будет выпускать x тыс. ед. продукции, причём затраты на производство этого количества продукции составят 0,25x^2 + 5x млн рублей в год. Кроме того планируется, что транспортные расходы на доставку продукции до места реализации составят x + 24 млн рублей в год. После продажи продукции (x тыс. ед.) по цене p тыс. рублей, где p — целое число, за единицу ежегодная прибыль завода (в млн рублей) составит разность между полученной суммой денег и суммарными затратами по производству продукции и транспортных расходов. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 6 лет, если расходы по его строительству оцениваются в размере 150 млн рублей?

Ежегодная прибыль (млн руб.): P(x) = px - (0,25x^2 + 5x) - (x + 24) = -0,25x^2 + (p-6)x - 24. Это парабола ветвями вниз с максимумом в точке x^* = (p-6)/(2 * 0,25) = 2(p-6). Максимальная годовая прибыль: P_() = -0,25 * 4(p-6)^2 + (p-6) * 2(p-6) - 24 = (p-6)^2 - 24. Чтобы завод окупился не более чем за 6 лет: 6 * P_() 150 <=> (p-6)^2 - 24 25 <=> (p-6)^2 49 <=> |p-6| 7. Отсюда p -1 или p 13. Так как p > 0 (цена) и p — целое, наименьшее значение равно p = 13. Проверка: при p = 13 имеем x^* = 14 > 0, P_() = 49 - 24 = 25, 6 * 25 = 150 — завод окупится ровно за 6 лет. Ответ: 13

13