Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Текстовые и прикладные
Ларин
Планируется построить новый завод, который ежегодно будет выпускать x тыс. ед. продукции, причём затраты на производство этого количества продукции составят 0,25x2+5x млн рублей в год. Кроме того планируется, что транспортные расходы на доставку продукции до места реализации составят x+24 млн рублей в год. После продажи продукции (x тыс. ед.) по цене p тыс. рублей, где p — целое число, за единицу ежегодная прибыль завода (в млн рублей) составит разность между полученной суммой денег и суммарными затратами по производству продукции и транспортных расходов. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 6 лет, если расходы по его строительству оцениваются в размере 150 млн рублей?
Ежегодная прибыль (млн руб.):
P(x)=px−(0,25x2+5x)−(x+24)=−0,25x2+(p−6)x−24.Это парабола ветвями вниз с максимумом в точке x∗=2⋅0,25p−6=2(p−6). Максимальная годовая прибыль:
Pmax=−0,25⋅4(p−6)2+(p−6)⋅2(p−6)−24=(p−6)2−24.Чтобы завод окупился не более чем за 6 лет:
6⋅Pmax⩾150⇔(p−6)2−24⩾25⇔(p−6)2⩾49⇔∣p−6∣⩾7.Отсюда p⩽−1 или p⩾13. Так как p>0 (цена) и p — целое, наименьшее значение равно p=13.
Проверка: при p=13 имеем x∗=14>0, Pmax=49−24=25, 6⋅25=150 — завод окупится ровно за 6 лет.
Ответ: 13