Аристарх 15 марта решил откладывать одинаковую сумму каждый месяц на покупку пакета акций. 1 марта пакет акций стоил 87500 рублей. 1 числа каждого месяца пакет акций дорожает на 20%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Аристарху каждый месяц, чтобы через некоторое время купить пакет акций?

Пусть S — сумма, которую Аристарх откладывает каждый месяц 15-го числа. Первое откладывание — 15 марта, второе — 15 апреля, и т.д. К 15-му числу n -го месяца после марта (где март соответствует n=0 ) он накопит (n+1)S рублей. Цена пакета на 1-е число n -го месяца после марта (при n 0 ): 87500* 1,2^n . Между 1-м и 15-м числом цена не меняется, поэтому к моменту 15-го числа n -го месяца цена та же. Условие покупки. Должно существовать n 0 такое, что (n+1)* S 87500* 1,2^n, т.е. S(87500* 1,2^n)/(n+1). Минимальное S равно минимуму правой части по n : S_()=87500*_(n 0)(1,2^n)/(n+1). Вычислим f(n)=(1,2^n)/(n+1) : 1. f(0)=1 , 2. f(1)=0,6 , 3. f(2)=0,48 , 4. f(3)=0,432 , 5. f(4)=(2,0736)/(5)=0,41472 , 6. f(5)=(2,48832)/(6)=0,41472 , 7. f(6)=(2,985984)/(7)~ 0,4266 , дальше растёт. Минимум f(4)=f(5)=(1,2^4)/(5)=(1296)/(3125) . Тогда: S_()=87500*(1296)/(3125)=28* 1296=36288 руб. Проверка. При S=36288 и n=4 : накоплено 5* 36288=181440 рублей. Цена пакета 15 июля: 87500* 1,2^4=87500* 2,0736=181440 руб. — равенство, можно купить. Ответ: 36288 руб.

36288