Задача №17094

Аристарх 15 марта решил откладывать одинаковую сумму каждый месяц на покупку пакета акций. 1 марта пакет акций стоил 87500 рублей. 1 числа каждого месяца пакет акций дорожает на 20%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Аристарху каждый месяц, чтобы через некоторое время купить пакет акций?

Пусть $S$ — сумма, которую Аристарх откладывает каждый месяц 15-го числа. Первое откладывание — 15 марта, второе — 15 апреля, и т.д. К 15-му числу $n$-го месяца после марта (где март соответствует $n=0$) он накопит $(n+1)S$ рублей.

Цена пакета на 1-е число $n$-го месяца после марта (при $n⩾0$): $87500\cdot 1,2^n\text{.}$ Между 1-м и 15-м числом цена не меняется, поэтому к моменту 15-го числа $n$-го месяца цена та же.

Условие покупки. Должно существовать $n⩾0$ такое, что

Минимальное $S$ равно минимуму правой части по $n\text{:}$

Вычислим $f(n)=\frac{1,2^n}{n+1}\text{:}$

1. $f(0)=1\text{,}$
2. $f(1)=0,6\text{,}$
3. $f(2)=0,48\text{,}$
4. $f(3)=0,432\text{,}$
5. $f(4)=\frac{2,0736}{5}=0,41472\text{,}$
6. $f(5)=\frac{2,48832}{6}=0,41472\text{,}$
7. $f(6)=\frac{2,985984}{7}\approx 0,4266\text{,}$

дальше растёт. Минимум $f(4)=f(5)=\frac{1,2^4}{5}=\frac{1296}{3125}\text{.}$

Тогда:

Проверка. При $S=36288$ и $n=4\text{:}$ накоплено $5\cdot 36288=181440$ рублей. Цена пакета 15 июля: $87500\cdot 1,2^4=87500\cdot 2,0736=181440$ руб. — равенство, можно купить.

Ответ: $36288$ руб.