Задача №17093

Основанием пирамиды является треугольник, один из углов которого $135^{\circ }\text{,}$ а противолежащая ему сторона $8\sqrt{6}\text{.}$ Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^{\circ }\text{.}$ Точка $O$ — центр сферы, описанной около данной пирамиды.

а) Докажите, что точка $O$ расположена между вершиной и основанием пирамиды.
б) Найдите расстояние от точки $O$ до плоскости основания.

Пусть $SABC$ — пирамида с вершиной $S$ и основанием $△ABC\text{,}$ в котором $\angle A=135^{\circ }\text{,}$ противолежащая сторона $BC=8\sqrt{6}\text{.}$ Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^{\circ }\text{.}$

Положение проекции вершины. Так как все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, их проекции на основание равны. Значит, проекция $P$ вершины $S$ на плоскость основания равноудалена от $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ — это центр описанной около $△ABC$ окружности.

Радиус описанной окружности найдём по теореме синусов:

$$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{8\sqrt{6}}{2\sin 135^{\circ }}=\frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=8\sqrt{3}.$$

Высота пирамиды. Пусть $\ell$ — длина бокового ребра, тогда $\ell \cos 60^{\circ }=PA=R\text{,}$ откуда $\ell =\frac{8\sqrt{3}}{1/2}=16\sqrt{3}\text{.}$ Высота

$$SP=\ell \sin 60^{\circ }=16\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=24.$$

Центр описанной сферы $O\text{.}$ Центр сферы лежит на оси пирамиды (прямой $SP$), так как он равноудалён от $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{.}$ Пусть $h_O$ — расстояние от $O$ до плоскости основания. Тогда $|OA{|}^2=h_O^2+R^2=h_O^2+192\text{,}$ а $|OS|=SP-h_O=24-h_O$ (если $O$ между основанием и $S$).

Из $|OA|=|OS|\text{:}$

$$(24-h_O{)}^2=h_O^2+192,$$ $$576-48h_O=192,$$ $$h_O=8.$$

а) Так как $0<h_O=8<24=SP\text{,}$ точка $O$ лежит на отрезке между плоскостью основания и вершиной $S$ строго внутри пирамиды (между основанием и вершиной). Это и требовалось доказать.

б) Расстояние от $O$ до плоскости основания равно $h_O=8\text{.}$

Ответ: $8\text{.}$