Основанием пирамиды является треугольник, один из углов которого 135^ , а противолежащая ему сторона 8sqrt(6) . Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 60^ . Точка O — центр сферы, описанной около данной пирамиды. а) Докажите, что точка O расположена между вершиной и основанием пирамиды. б) Найдите расстояние от точки O до плоскости основания.

Пусть SABC — пирамида с вершиной S и основанием ABC , в котором A = 135^ , противолежащая сторона BC = 8sqrt(6) . Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60^ . Положение проекции вершины. Так как все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, их проекции на основание равны. Значит, проекция P вершины S на плоскость основания равноудалена от A , B , C — это центр описанной около ABC окружности. Радиус описанной окружности найдём по теореме синусов: R = (BC)/(2sin A) = (8sqrt(6))/(2sin 135^) = (8sqrt(6))/(sqrt(2)) = 8sqrt(3). Высота пирамиды. Пусть — длина бокового ребра, тогда cos 60^ = PA = R , откуда = (8sqrt(3))/(1/2) = 16sqrt(3) . Высота SP = sin 60^ = 16sqrt(3) * (sqrt(3))/(2) = 24. Центр описанной сферы O . Центр сферы лежит на оси пирамиды (прямой SP ), так как он равноудалён от A , B , C . Пусть h_O — расстояние от O до плоскости основания. Тогда |OA|^2 = h_O^2 + R^2 = h_O^2 + 192 , а |OS| = SP - h_O = 24 - h_O (если O между основанием и S ). Из |OA| = |OS| : (24 - h_O)^2 = h_O^2 + 192, 576 - 48 h_O = 192, h_O = 8. а) Так как 0 < h_O = 8 < 24 = SP , точка O лежит на отрезке между плоскостью основания и вершиной S строго внутри пирамиды (между основанием и вершиной). Это и требовалось доказать. б) Расстояние от O до плоскости основания равно h_O = 8 . Ответ: 8 .

8