Задача №17088

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с углом $A\text{,}$ равным $30^{\circ }\text{,}$ на катете $AC$ отмечена точка $E$ так, что $EC=7\text{,}$ а угол $BEC$ равен $60^{\circ }\text{.}$ Найдите $AE\text{.}$

В прямоугольном $△BEC\text{:}$ $\angle BCE=90^{\circ }\text{,}$ $\angle BEC=60^{\circ }\text{,}$ $EC=7\text{.}$ Тогда

Угол $AEB$ — смежный с $\angle BEC\text{,}$ значит $\angle AEB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

В $△AEB\text{:}$ $\angle BAE=30^{\circ }\text{,}$ $\angle AEB=120^{\circ }\text{,}$ поэтому $\angle ABE=180^{\circ }-120^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }\text{.}$ Треугольник равнобедренный (углы при основании $AB$ равны), и $AE=BE=14\text{.}$

Ответ: $14\text{.}$