Точка F — середина ребра BB_1 параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1. А) Докажите, что плоскость AFC параллельна прямой B_1 D. Б) Найдите расстояние между прямой B_1 D и плоскостью AFC, если параллелепипед прямоугольный, AB = AD = 6, AA_1 = 16.

А) Пусть O — точка пересечения диагоналей основания ABCD (т.е. середина BD). Поскольку F — середина BB_1, отрезок OF — средняя линия треугольника DBB_1, поэтому OF B_1 D. OF c (AFC), а B_1 D в этой плоскости не лежит, значит B_1 D (AFC), что и требовалось доказать. Б) Поскольку B_1 D (AFC), расстояние от прямой B_1 D до плоскости AFC равно расстоянию от любой точки прямой до плоскости, в частности от точки B. Воспользуемся методом объёмов. Площадь треугольника ABC (прямоугольный с катетами AB = BC = 6): S_(ABC) = (1)/(2) * 6 * 6 = 18. BF = (1)/(2) * AA_1 = 8. Объём пирамиды FABC: V_(FABC) = (1)/(3) * S_(ABC) * BF = (1)/(3) * 18 * 8 = 48. С другой стороны, V_(FABC) = (1)/(3) * S_(AFC) * (B,(AFC)). Найдём S_(AFC). Треугольник AFC равнобедренный: AF = FC = sqrt(AB^2 + BF^2) = sqrt(36 + 64) = 10, AC = 6sqrt(2) (диагональ квадрата со стороной 6). Высота из вершины F к основанию AC: FH = sqrt(AF^2 - ((AC)/(2))^2) = sqrt(100 - 18) = sqrt(82), S_(AFC) = (1)/(2) * 6sqrt(2) * sqrt(82) = 3sqrt(164) = 6sqrt(41). Тогда (1)/(3) * 6sqrt(41) * = 48, откуда = (24)/(sqrt(41)). Ответ: Б) (24)/(sqrt(41))

Б) $\dfrac{24}{\sqrt{41}}$