Задача №17086

А) Решите уравнение
$\sin x-\cos x=\sqrt{1+\sin 2x}-1\text{.}$
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-\frac{3\pi }{2};\pi \right]\text{.}$

А) Решение.

Уравнение: $\sin x-\cos x=\sqrt{1+\sin 2x}-1\text{.}$ Перепишем как $\sin x-\cos x+1=\sqrt{1+\sin 2x}\text{.}$

Поскольку правая часть неотрицательна, требуется $\sin x-\cos x+1⩾0\text{.}$

Учитывая $1+\sin 2x=(\sin x+\cos x{)}^2\text{,}$ имеем $\sqrt{1+\sin 2x}=|\sin x+\cos x|\text{.}$ Уравнение принимает вид

Случай 1: $\sin x+\cos x⩽0\text{.}$ Тогда $|\sin x+\cos x|=-\sin x-\cos x\text{,}$ и уравнение даёт $2\sin x+1=0\text{,}$ то есть $\sin x=-\frac{1}{2}\text{.}$ Тогда $\cos x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Условие $\sin x+\cos x⩽0$ выполняется при $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (третья четверть): $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Случай 2: $\sin x+\cos x⩾0\text{.}$ Тогда $|\sin x+\cos x|=\sin x+\cos x\text{,}$ уравнение даёт $2\cos x=1\text{,}$ то есть $\cos x=\frac{1}{2}\text{.}$ Тогда $\sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Условие $\sin x+\cos x⩾0$ выполняется при $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (первая четверть): $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Б) Отбор корней на отрезке $\left[-\frac{3\pi }{2};\pi \right]\text{.}$

• При $n=0\text{:}$ $x=-\frac{5\pi }{6}\in \left[-\frac{3\pi }{2};\pi \right]\text{.}$
• При $k=0\text{:}$ $x=\frac{\pi }{3}\in \left[-\frac{3\pi }{2};\pi \right]\text{.}$
• Остальные значения $n,k$ выводят корни за пределы отрезка.

Ответ:

А) $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n\text{,}$ $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{,}$ $n,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Б) $-\frac{5\pi }{6}\text{;}$ $\frac{\pi }{3}\text{.}$