А) Решите уравнение sin x - cos x = sqrt(1 + sin 2x) - 1 . Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-(3pi)/(2);pi] .

А) Решение. Уравнение: sin x - cos x = sqrt(1 + sin 2x) - 1 . Перепишем как sin x - cos x + 1 = sqrt(1 + sin 2x) . Поскольку правая часть неотрицательна, требуется sin x - cos x + 1 0 . Учитывая 1 + sin 2x = (sin x + cos x)^2 , имеем sqrt(1 + sin 2x) = |sin x + cos x| . Уравнение принимает вид sin x - cos x + 1 = |sin x + cos x|. Случай 1: sin x + cos x 0 . Тогда |sin x + cos x| = -sin x - cos x , и уравнение даёт 2sin x + 1 = 0 , то есть sin x = -(1)/(2) . Тогда cos x = +-(sqrt(3))/(2) . Условие sin x + cos x 0 выполняется при cos x = -(sqrt(3))/(2) (третья четверть): x = -(5pi)/(6) + 2pi n , n in Z . Случай 2: sin x + cos x 0 . Тогда |sin x + cos x| = sin x + cos x , уравнение даёт 2cos x = 1 , то есть cos x = (1)/(2) . Тогда sin x = +-(sqrt(3))/(2) . Условие sin x + cos x 0 выполняется при sin x = (sqrt(3))/(2) (первая четверть): x = (pi)/(3) + 2pi k , k in Z . Б) Отбор корней на отрезке [-(3pi)/(2);pi] . - При n = 0 : x = -(5pi)/(6) in [-(3pi)/(2);pi] . - При k = 0 : x = (pi)/(3) in [-(3pi)/(2);pi] . - Остальные значения n, k выводят корни за пределы отрезка. Ответ: А) x = -(5pi)/(6) + 2pi n , x = (pi)/(3) + 2pi k , n, k in Z . Б) -(5pi)/(6) ; (pi)/(3) .

А) $-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ n,k\in\mathbb{Z}$. Б) $-\dfrac{5\pi}{6};\ \dfrac{\pi}{3}$.