Задача №17085

Решите неравенство:

$$\sqrt{2^{x^2+2x-10}}⩾{\left(\sqrt{33+\sqrt{128}}-1\right)}^x.$$

Упростим левую часть:

$$\sqrt{2^{x^2+2x-10}}=2^{(x^2+2x-10)/2}.$$

Упростим правую часть. $\sqrt{128}=8\sqrt{2}\text{,}$ поэтому $33+\sqrt{128}=33+8\sqrt{2}\text{.}$ Представим в виде квадрата:

$$33+8\sqrt{2}=1+8\sqrt{2}+32=(1+4\sqrt{2}{)}^2.$$

Тогда $\sqrt{33+\sqrt{128}}=1+4\sqrt{2}$ (положительный корень), и

$$\sqrt{33+\sqrt{128}}-1=4\sqrt{2}=2^2\cdot 2^{1/2}=2^{5/2}.$$

Значит, $(4\sqrt{2}{)}^x=2^{5x/2}\text{.}$

Неравенство принимает вид:

$$2^{(x^2+2x-10)/2}⩾2^{5x/2}.$$

Поскольку основание $2>1\text{,}$ неравенство равносильно:

$$\frac{x^2+2x-10}{2}⩾\frac{5x}{2},$$ $$x^2+2x-10⩾5x,$$ $$x^2-3x-10⩾0,$$ $$(x-5)(x+2)⩾0.$$

Решение: $x⩽-2$ или $x⩾5\text{.}$

Ответ: $x\in (-\infty ;-2]\cup [5;+\infty )\text{.}$