Задача №17083

Решите неравенство

$${\log }_2^2|2x|-5{\log }_2|2x|+2|x|\cdot {\log }_2|2x|-4|x|+6⩾0.$$

ОДЗ: $x\ne 0\text{.}$

Сделаем замену $|2x|=t\text{,}$ $t>0\text{.}$ Поскольку $|2x|=2|x|\text{,}$ имеем $2|x|=t\text{.}$ Неравенство принимает вид

$${\log }_2^{2}t-5{\log }_{2}t+t\cdot {\log }_{2}t-2t+6⩾0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$({\log }_2^{2}t-5{\log }_{2}t+6)+t({\log }_{2}t-2)⩾0,$$ $$({\log }_{2}t-2)({\log }_{2}t-3)+t({\log }_{2}t-2)⩾0,$$ $$({\log }_{2}t-2)({\log }_{2}t+t-3)⩾0.$$

Произведение неотрицательно, когда оба сомножителя одного знака.

Случай 1: ${\log }_{2}t-2⩾0$ и ${\log }_{2}t⩾3-t\text{.}$

Из первого условия $t⩾4\text{.}$ При $t⩾4$ имеем ${\log }_{2}t⩾2\text{,}$ а $3-t⩽-1\text{,}$ значит второе неравенство выполнено автоматически. Получаем $t⩾4\text{.}$

Случай 2: ${\log }_{2}t-2⩽0$ и ${\log }_{2}t⩽3-t\text{.}$

Из первого: $0<t⩽4\text{.}$ Сравним функции $y={\log }_{2}t$ (возрастающая) и $y=3-t$ (убывающая). Они пересекаются в точке $t=2$ (так как ${\log }_{2}2=1=3-2$). При $0<t⩽2$ имеем ${\log }_{2}t⩽1⩽3-t$ — условие выполнено. При $2<t⩽4$ выполнено ${\log }_{2}t>1>3-t$ — не выполнено. Итог: $0<t⩽2\text{.}$

Объединяя оба случая: $t\in (0;2]\cup [4;+\infty )\text{.}$

Возвращаемся к $x\text{:}$ $2|x|⩽2$ или $2|x|⩾4\text{,}$ т.е. $|x|⩽1$ или $|x|⩾2$ (с учётом $x\ne 0$):

1. $|x|⩾2\Rightarrow x\in (-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )\text{;}$
2. $0<|x|⩽1\Rightarrow x\in [-1;0)\cup (0;1]\text{.}$

Ответ: $x\in (-\infty ;-2]\cup [-1;0)\cup (0;1]\cup [2;+\infty )\text{.}$