Решите неравенство _2^2|2x| - 5_2|2x| + 2|x|*_2|2x| - 4|x| + 6 0.

ОДЗ: x != 0 . Сделаем замену |2x| = t , t > 0 . Поскольку |2x| = 2|x| , имеем 2|x| = t . Неравенство принимает вид _2^2 t - 5_2 t + t*_2 t - 2t + 6 0. Сгруппируем слагаемые: (_2^2 t - 5_2 t + 6) + t(_2 t - 2) 0, (_2 t - 2)(_2 t - 3) + t(_2 t - 2) 0, (_2 t - 2)(_2 t + t - 3) 0. Произведение неотрицательно, когда оба сомножителя одного знака. Случай 1: _2 t - 2 0 и _2 t 3 - t . Из первого условия t 4 . При t 4 имеем _2 t 2 , а 3 - t -1 , значит второе неравенство выполнено автоматически. Получаем t 4 . Случай 2: _2 t - 2 0 и _2 t 3 - t . Из первого: 0 < t 4 . Сравним функции y = _2 t (возрастающая) и y = 3 - t (убывающая). Они пересекаются в точке t = 2 (так как _2 2 = 1 = 3 - 2 ). При 0 < t 2 имеем _2 t 1 3 - t -- условие выполнено. При 2 < t 4 выполнено _2 t > 1 > 3 - t -- не выполнено. Итог: 0 < t 2 . Объединяя оба случая: t in (0;2] U [4;+inf) . Возвращаемся к x : 2|x| 2 или 2|x| 4 , т.е. |x| 1 или |x| 2 (с учётом x != 0 ): 1. |x| 2 => x in (-inf;-2] U [2;+inf) ; 2. 0 < |x| 1 => x in [-1;0) U (0;1] . Ответ: x in (-inf;-2] U [-1;0) U (0;1] U [2;+inf) .

$x \in (-\infty;\,-2] \cup [-1;\,0) \cup (0;\,1] \cup [2;\,+\infty)$