В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 через вершину A_1 и середины сторон BC и CD проходит плоскость alpha. Отношение высоты призмы к стороне основания равно sqrt((5)/(2)). А) Докажите, что плоскость alpha перпендикулярна прямой FC_1. Б) Найдите, в каком отношении плоскость alpha делит объём призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1.

Введение обозначений. Пусть AB=a, AA_1=h, причём (h)/(a)=sqrt((5)/(2)). Обозначим M — середину BC, N — середину CD. Сечение призмы плоскостью alpha строится так: MNn AB=Q; MNn ED=G; прямая A_1Q пересекает BB_1 в точке P; прямая E_1G пересекает AA_1 в точке K. Сечение — шестиугольник A_1E_1KNMP. А) Доказательство alpha FC_1. Проекция FC_1 на плоскость основания — отрезок FC. В правильном шестиугольнике FC AE, а MN AE (как средняя линия), значит FC MN. По теореме о трёх перпендикулярах FC_1 MN. () Пусть T — точка пересечения FC с MN, L — пересечение перпендикулярной плоскости через FC с прямой сечения; тогда FT=(a)/(2), CL=(a)/(4), TL=FT+TC-CL=(5a)/(4). Угол наклона FC_1 к плоскости ABE: tg_1=(h)/(2a)=(sqrt(10))/(4). Угол наклона плоскости alpha к плоскости ABE: tg_1=(h)/(TL)*(TL)/(*) — точнее, ctg_1=(TL)/(h)=(5a/4)/(asqrt(5/2))=(sqrt(10))/(4). Получаем tg_1=ctg_1, то есть _1+_1=90^. Значит, FC_1 TL. () Из () и () следует, что FC_1 перпендикулярна двум различным прямым плоскости alpha, то есть FC_1, ч. т. д. Б) Подсчёт отношения объёмов. Объём призмы: V=(6sqrt(3))/(4)a^2 h=(3sqrt(3))/(2)a^2 h. Часть призмы под плоскостью alpha (со стороны основания ABC F) представляется как сумма: - V_1=V_(AFEA_1F_1E_1)=(1)/(6)V=(sqrt(3))/(4)a^2 h (третья часть призмы — две из шести трёхгранных «долек»); - V_2=V_(A_1AQE_1EG) — призма с основанием A_1QE_1? Точнее, объём пирамиды на основании AQE_1A_1 с высотой AE. После подстановки AQ=TL=(5a)/(4), AE=asqrt(3): V_2=(1)/(2)*(5a)/(4)* h* asqrt(3)=(5sqrt(3))/(8)a^2 h; - минус две одинаковые отсекаемые пирамидки V_(PBQM)=V_(KDEN), у которых PB=(h)/(5) (из подобия PB:h=BQ:AQ=1:5), BQ=(a)/(2), QM=(asqrt(3))/(4). Каждая имеет объём (1)/(6)*(a)/(2)*(asqrt(3))/(4)*(h)/(5)=(sqrt(3))/(240)a^2 h, в сумме 2V_3=(sqrt(3))/(120)a^2 h. Получаем V_(подalpha)=V_1+V_2-2V_3=((sqrt(3))/(4)+(5sqrt(3))/(8)-(sqrt(3))/(240))a^2 h=(209sqrt(3))/(240)a^2 h. Тогда V_(надalpha)=V-V_(подalpha)=((3sqrt(3))/(2)-(209sqrt(3))/(240))a^2 h=(151sqrt(3))/(240)a^2 h. (V_(надalpha))/(V_(подalpha))=(151)/(209). Ответ: 151:209.

$\dfrac{V_{\text{над}\alpha}}{V_{\text{под}\alpha}}=\dfrac{151}{209}$ (отношение $151:209$).