Задача №17077

Решите уравнение

$$x^{\sqrt[3]{x^2}}={\left(\sqrt{x}\right)}^x.$$

Если корней несколько, в ответе запишите их произведение.

Уравнение $x^{\sqrt[3]{x^2}}=(\sqrt{x}{)}^x\text{.}$ ОДЗ: $x>0$ (из-за $\sqrt{x}$). Прологарифмируем:

$$\sqrt[3]{x^2}\cdot \ln x=\frac{x}{2}\cdot \ln x.$$

Перенесём в левую часть:

$$\ln x\left(\sqrt[3]{x^2}-\frac{x}{2}\right)=0.$$

Случай 1. $\ln x=0\Rightarrow x=1\text{.}$

Случай 2. $\sqrt[3]{x^2}=\frac{x}{2}\Rightarrow x^{2/3}=\frac{x}{2}\Rightarrow 2=x^{1/3}\Rightarrow x=8\text{.}$

Оба корня принадлежат ОДЗ. Произведение корней:

$$1\cdot 8=8.$$

Ответ: $8$