Задача №17076

В треугольнике $ABC$ $AC=\frac{6}{\sqrt{\pi }}\text{,}$ $\angle ABC=60^{\circ }\text{,}$ а периметр треугольника равен $\frac{15}{\sqrt{\pi }}\text{.}$ Найдите площадь вписанного в треугольник круга. На рисунке изображены треугольник $ABC$ и вписанная в него окружность.

Пусть $O$ — центр вписанной окружности, $K\text{,}$ $P\text{,}$ $Q$ — точки касания окружности со сторонами $AC\text{,}$ $AB\text{,}$ $BC$ соответственно. По свойству касательных $AK=AP\text{,}$ $CK=CQ\text{,}$ $BP=BQ\text{.}$ Поэтому

Подставим значения:

Луч $BO$ — биссектриса угла $ABC\text{,}$ поэтому $\angle OBP=30^{\circ }\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $BPO\text{:}$

Найдём площадь:

Ответ: $0,75\text{.}$