В треугольнике ABC AC = (6)/(sqrt(pi)) , ABC = 60^ , а периметр треугольника равен (15)/(sqrt(pi)) . Найдите площадь вписанного в треугольник круга. На рисунке изображены треугольник ABC и вписанная в него окружность.

Пусть O — центр вписанной окружности, K , P , Q — точки касания окружности со сторонами AC , AB , BC соответственно. По свойству касательных AK = AP , CK = CQ , BP = BQ . Поэтому P_( ABC) = 2(AK + CK) + 2BP = 2 * AC + 2BP. Подставим значения: (15)/(sqrt(pi)) = 2 * (6)/(sqrt(pi)) + 2BP =>BP = (3)/(2sqrt(pi)). Луч BO — биссектриса угла ABC , поэтому OBP = 30^ . В прямоугольном треугольнике BPO : r = OP = BP * tg 30^ = (3)/(2sqrt(pi)) * (1)/(sqrt(3)) = (sqrt(3))/(2sqrt(pi)). Найдём площадь: S = pi r^2 = pi * (3)/(4pi) = (3)/(4) = 0,75. Ответ: 0,75 .

0,75