Задача №17073

Имеются два бака равного объёма, первый — полный воды, второй — заполненный водой на четверть. Из первого начали выпускать воду со скоростью 10 л/мин. Одновременно второй бак начали заполнять с постоянной скоростью. Разница объёмов воды в баках дважды составляла 60 литров: сначала, когда первый бак опустел на $\frac{3}{10}$ объёма, и затем, когда второй бак заполнился на $\frac{3}{5}$ объёма. С какой скоростью (л/мин) заполняли второй бак?

Пусть объём каждого бака равен $h$ литров, а скорость наполнения второго бака — $V$ л/мин.

В первый момент равенства разница между баками 60 л достигается, когда из первого бака вытекло $\frac{3h}{10}$ литров; это произошло за время $t_1=\frac{3h}{100}$ мин. К этому моменту во второй бак налилось $t_{1}V=\frac{3hV}{100}$ литров. Уровень в первом стал $\frac{7h}{10}\text{,}$ во втором — $\frac{h}{4}+\frac{3hV}{100}\text{.}$ Условие разницы:

Во второй момент второй бак заполнился до $\frac{3h}{5}\text{,}$ т. е. в нём прибавилось $\frac{3h}{5}-\frac{h}{4}=\frac{7h}{20}$ литров. Время: $t_2=\frac{7h}{20V}\text{.}$ Из первого бака к этому моменту вытекло $10t_2=\frac{7h}{2V}$ литров, и в нём осталось $h-\frac{7h}{2V}\text{.}$ Разница:

Умножив $(1)$ на $\frac{100}{3}$ и $(2)$ на $10V\text{,}$ получим систему

Поделив, получим

откуда $3V^2-85V+350=0\text{.}$

Найдём корни:

то есть $V=5$ или $V=\frac{140}{6}$ (не целое — не подходит по смыслу задачи).

Ответ: $5\text{.}$