Задача №17070

В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% — с заболеванием Г, 20% — с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7, для болезней Г и М эти вероятности равны соответственно 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым.

Найдите вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К. Ответ округлите до сотых.

Обозначим события: $K\text{,}$ $\Gamma \text{,}$ $M$ — больной поступил с соответствующим заболеванием; $H$ — больной выписан здоровым.

По условию:

$$P(K)=0,5,P(\Gamma )=0,3,P(M)=0,2,$$ $$P(H\mid K)=0,7,P(H\mid \Gamma )=0,8,P(H\mid M)=0,9.$$

По формуле полной вероятности:

$$P(H)=0,5\cdot 0,7+0,3\cdot 0,8+0,2\cdot 0,9=0,35+0,24+0,18=0,77.$$

По формуле Байеса:

$$P(K\mid H)=\frac{P(K)\cdot P(H\mid K)}{P(H)}=\frac{0,5\cdot 0,7}{0,77}=\frac{0,35}{0,77}\approx 0,45454\dots$$

Округляя до сотых, получаем $0,45\text{.}$

Ответ: $0,45\text{.}$