Задача №17069

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ через середину ребра $B_1{C}_1$ и центр грани $AD{D}_1{A}_1$ проходит плоскость $\alpha \text{,}$ параллельная диагонали $B{D}_1\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через середину ребра $AB\text{.}$
б) Найдите угол между плоскостью $AB{B}_1$ и плоскостью $\alpha \text{,}$ если $AB:A{A}_1:BC=1:2:3\text{.}$

а) Доказательство.

Введём координаты: $A=(0;0;0)\text{,}$ $B=(a;0;0)\text{,}$ $C=(a;c;0)\text{,}$ $D=(0;c;0)\text{,}$ $A_1=(0;0;h)\text{,}$ $B_1=(a;0;h)\text{,}$ $C_1=(a;c;h)\text{,}$ $D_1=(0;c;h)\text{,}$ где $a=AB\text{,}$ $c=BC\text{,}$ $h=A{A}_1\text{.}$

Точка $M$ — середина $B_1{C}_1\text{:}$ $M=\left(a;\frac{c}{2};h\right)\text{.}$ Точка $N$ — центр грани $AD{D}_1{A}_1\text{:}$ $N=\left(0;\frac{c}{2};\frac{h}{2}\right)\text{.}$

Вектор $\overrightarrow{B{D}_1}=(-a;c;h)\text{.}$ Направляющие плоскости $\alpha \text{:}$ $\overrightarrow{NM}=\left(a;0;\frac{h}{2}\right)$ и $\overrightarrow{B{D}_1}=(-a;c;h)\text{.}$

Нормаль:

$$\vec{n}=\overrightarrow{NM}\times \overrightarrow{B{D}_1}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a& 0& h/2\\ -a& c& h\end{array}\right|=\left(-\frac{hc}{2};-\frac{3ah}{2};ac\right).$$

Коэффициенты пропорциональны $(-hc;-3ah;2ac)\text{.}$ Уравнение плоскости через $N\text{:}$

$$-hc(x-0)-3ah\left(y-\frac{c}{2}\right)+2ac\left(z-\frac{h}{2}\right)=0.$$

Подставим середину $AB\text{,}$ $P=(a/2;0;0)\text{:}$

$$-hc\cdot \frac{a}{2}-3ah\cdot \left(-\frac{c}{2}\right)+2ac\cdot \left(-\frac{h}{2}\right)=-\frac{ahc}{2}+\frac{3ahc}{2}-ahc=ahc-ahc=0.$$

Точка $P$ принадлежит плоскости $\alpha \text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Угол между плоскостью $AB{B}_1$ и плоскостью $\alpha \text{.}$

Пусть $a:h:c=1:2:3\text{,}$ то есть $a=1\text{,}$ $h=2\text{,}$ $c=3\text{.}$

Нормаль к $\alpha \text{:}$ $(-hc;-3ah;2ac)=(-6;-6;6)\parallel (-1;-1;1)\text{,}$ длина $\sqrt{3}\text{.}$

Нормаль к $AB{B}_1$ (плоскость $y=0$): $(0;1;0)\text{.}$

Косинус угла между плоскостями:

$$\cos \phi =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|-1|}{\sqrt{3}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда $\tan \phi =\sqrt{2}\text{,}$ $\phi =\mathrm{arctg}\sqrt{2}\text{.}$

Ответ:

б) $\mathrm{arctg}\sqrt{2}$ (или $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$).