В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 через середину ребра B_1C_1 и центр грани ADD_1A_1 проходит плоскость alpha , параллельная диагонали BD_1 . а) Докажите, что плоскость alpha проходит через середину ребра AB . б) Найдите угол между плоскостью ABB_1 и плоскостью alpha , если AB : AA_1 : BC = 1 : 2 : 3 .

а) Доказательство. Введём координаты: A=(0;0;0) , B=(a;0;0) , C=(a;c;0) , D=(0;c;0) , A_1=(0;0;h) , B_1=(a;0;h) , C_1=(a;c;h) , D_1=(0;c;h) , где a=AB , c=BC , h=AA_1 . Точка M — середина B_1C_1 : M=(a;(c)/(2);h) . Точка N — центр грани ADD_1A_1 : N=(0;(c)/(2);(h)/(2)) . Вектор BD_1=(-a;c;h) . Направляющие плоскости alpha : NM=(a;0;(h)/(2)) и BD_1=(-a;c;h) . Нормаль: n=NM*BD_1=|matrix i& j& k a&0&h/2-a&c&hmatrix|=(-(hc)/(2); -(3ah)/(2); ac). Коэффициенты пропорциональны (-hc; -3ah; 2ac) . Уравнение плоскости через N : -hc(x-0)-3ah(y-(c)/(2))+2ac(z-(h)/(2))=0. Подставим середину AB , P=(a/2;0;0) : -hc*(a)/(2)-3ah*(-(c)/(2))+2ac*(-(h)/(2))=-(ahc)/(2)+(3ahc)/(2)-ahc=ahc-ahc=0. Точка P принадлежит плоскости alpha . Что и требовалось доказать. б) Угол между плоскостью ABB_1 и плоскостью alpha . Пусть a:h:c=1:2:3 , то есть a=1 , h=2 , c=3 . Нормаль к alpha : (-hc;-3ah;2ac)=(-6;-6;6)(-1;-1;1) , длина sqrt(3) . Нормаль к ABB_1 (плоскость y=0 ): (0;1;0) . Косинус угла между плоскостями: cos=(| n_1* n_2|)/(| n_1|| n_2|)=(|-1|)/(sqrt(3)* 1)=(1)/(sqrt(3))=(sqrt(3))/(3). Тогда tan=sqrt(2) , =arctgsqrt(2) . Ответ: б) arctgsqrt(2) (или arccos(sqrt(3))/(3) ).

Б) arctg√2