Найдите значение выражения (2sin7pi18 - sqrt(12)cos7pi18)/(sqrt(1 - sin^24pi9)).

Задача №17068: Вычисления и преобразования

Найдите значение выражения

\frac{2 sin \frac{7 π}{18} - 12 cos \frac{7 π}{18}}{1 - sin ^{2} \frac{4 π}{9}} .

$12 = 23 .$ Преобразуем числитель:

2 sin \frac{7 π}{18} - 23 cos \frac{7 π}{18} = 4 (\frac{1}{2} sin \frac{7 π}{18} - \frac{3}{2} cos \frac{7 π}{18}) = 4 sin (\frac{7 π}{18} - \frac{π}{3}) = 4 sin \frac{π}{18} .

Рассмотрим знаменатель. Поскольку $\frac{4 π}{9} = 8 0^{\circ} \in (0; \frac{π}{2}),$ то $cos \frac{4 π}{9} > 0,$ и

1 - sin^{2} \frac{4 π}{9} = cos \frac{4 π}{9} = sin (\frac{π}{2} - \frac{4 π}{9}) = sin \frac{π}{18} .

Поэтому исходное выражение равно

\frac{4 sin \frac{π}{18}}{sin \frac{π}{18}} = 4.

Ответ: $4 .$

Найдите значение выражения

\frac{2 sin \frac{7 π}{18} - 12 cos \frac{7 π}{18}}{1 - sin ^{2} \frac{4 π}{9}} .

$12 = 23 .$ Преобразуем числитель:

2 sin \frac{7 π}{18} - 23 cos \frac{7 π}{18} = 4 (\frac{1}{2} sin \frac{7 π}{18} - \frac{3}{2} cos \frac{7 π}{18}) = 4 sin (\frac{7 π}{18} - \frac{π}{3}) = 4 sin \frac{π}{18} .

Рассмотрим знаменатель. Поскольку $\frac{4 π}{9} = 8 0^{\circ} \in (0; \frac{π}{2}),$ то $cos \frac{4 π}{9} > 0,$ и

1 - sin^{2} \frac{4 π}{9} = cos \frac{4 π}{9} = sin (\frac{π}{2} - \frac{4 π}{9}) = sin \frac{π}{18} .

Поэтому исходное выражение равно

\frac{4 sin \frac{π}{18}}{sin \frac{π}{18}} = 4.

Ответ: $4 .$