Задача №17065

Груз массой $0,25$ кг колеблется на пружине. Его скорость ($v\text{,}$ м/с) меняется по закону

$$v(t)=0,2\sin (2\pi t),$$

где $t$ — время в секундах. Кинетическая энергия груза (в Дж) вычисляется по формуле

$$E=\frac{m{v}^2}{2}.$$

Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее $12,5\cdot 10^{-4}$ Дж. При необходимости ответ округлите до сотых.

Кинетическая энергия:

$$E=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{0,25\cdot 0,04{\sin }^2(2\pi t)}{2}=0,005{\sin }^2(2\pi t)\text{ Дж}.$$

Запишем условие $E⩾12,5\cdot 10^{-4}=1,25\cdot 10^{-3}$ Дж:

$$0,005{\sin }^2(2\pi t)⩾0,00125\iff {\sin }^2(2\pi t)⩾\frac{1}{4}\iff |\sin (2\pi t)|⩾\frac{1}{2}.$$

При $t\in [0;1]$ аргумент $u=2\pi t\in [0;2\pi ]\text{.}$ Неравенство $|\sin u|⩾\frac{1}{2}$ выполнено на

$$u\in \left[\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right]\cup \left[\frac{7\pi }{6};\frac{11\pi }{6}\right],$$

суммарная длина которого равна $\frac{4\pi }{3}\text{.}$

Найдём искомую долю:

$$\frac{4\pi /3}{2\pi }=\frac{2}{3}\approx 0,67.$$

Ответ: $0,67\text{.}$