Перейти к основному содержимому

Математика
Математика (профиль) ЕГЭ
Задачи
№17064

Задача №17064

Средне

Задача #17064

Исследование частных•1 балл

Проверить решение?

Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка

Решай похожие задачи

Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения

Задача по теме "Исследование частных"

Задача по теме "Исследование частных"

Задача по теме "Исследование частных"

Информация

ЭкзаменЕГЭ

Часть

1

Раздел

Функции и начала анализа

Тип задачи№9 Производная и первообразная

ТемаИсследование частных

ИсточникАлександр Ларин (alexlarin.net)

Откуда задача

Ларин

Теги

Монотонность функции. Промежутки возрастания и убыванияПрименение производной к исследованию функций и построению графиковТочки экстремума функцииЛогарифмическая функция, её график

Найдите точку максимума функции $y = 3 x^{2} + 27 x - x^{3} - 54 ln x .$

ОДЗ: $x > 0 .$

Найдём производную:

y^{'} = 6 x + 27 - 3 x^{2} - \frac{54}{x} = \frac{6 x ^{2} + 27 x - 3 x ^{3} - 54}{x} = - \frac{3 ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x + 3 )}{x} .

При $x > 0 :$

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 2 или x = 3.

Определим знак $y^{'}$ при $x > 0 :$ $y^{'} < 0$ на $(0; 2),$ $y^{'} > 0$ на $(2; 3),$ $y^{'} < 0$ на $(3; + \infty) .$

Следовательно, $x = 3$ — точка локального максимума.

Ответ: 3