Аристарх написал на заборе квадратный трёхчлен вида x2+10x+20. После этого каждый проходящий мимо человек по очереди делал следующее: увеличивал или уменьшал на 1 либо коэффициент при x, либо свободный член (но не оба сразу). Рассматриваются все возможные последовательности таких изменений, приводящие от начального к конечному трёхчлену.
а) Существует ли такая последовательность получившихся многочленов, в которой ни разу не появился многочлен с целыми корнями, если в итоге на заборе оказался трёхчлен x2+12x+18?
б) Существует ли такая последовательность получившихся многочленов, в которой ни разу не появился многочлен с целыми корнями, если в итоге на заборе оказался трёхчлен x2+20x+10?
в) Многочлен x2+15x+5 был получен за минимальное количество шагов. Какое наибольшее количество многочленов с целыми корнями можно при этом получить?
Каждому приведённому квадратному трёхчлену x2+bx+c поставим в соответствие пару (b,c)∈Z2. Начальный трёхчлен x2+10x+20 соответствует паре (10,20).
а) Да, существует. Цепочка пар
(10,20)→(11,20)→(11,19)→(12,19)→(12,18)переводит начальный трёхчлен в x2+12x+18. Дискриминанты соответствующих многочленов: 100−80=20, 121−80=41, 121−76=45, 144−76=68, 144−72=72 — все не являются полными квадратами, значит ни один трёхчлен не имеет целых корней.
б) Нет, не существует.
При каждом изменении трёхчлена его значение в точке x=−1 меняется на 1 (если меняется коэффициент при x, то f(−1) убывает на 1; если свободный член, то f(−1) меняется на ±1). Для f(x)=x2+10x+20: f(−1)=11. Для g(x)=x2+20x+10: g(−1)=−9.
Значения f(−1) и g(−1) имеют разный знак, значит на каком-то промежуточном шаге появится трёхчлен h(x)=x2+px+q с h(−1)=0. Тогда −1 — целый корень, а второй корень по теореме Виета равен −q∈Z. Этот трёхчлен имеет целые корни, что запрещено.
в) Наибольшее количество — 2.
Из пары (10,20) в пару (15,5) за минимальное число шагов потребуется ∣10−15∣+∣20−5∣=20 шагов, причём для всех соседних пар b не убывает, c не возрастает.
Переберём все пары (b,c) с b∈[10;15], c∈[5;20], для которых D=b2−4c — полный квадрат:
| b | пары (b,c) |
|---|---|
| 10 | (10,9), (10,16) |
| 11 | (11,10), (11,18) |
| 12 | (12,11), (12,20) |
| 13 | (13,12) |
| 14 | (14,13) |
| 15 | (15,14) |
Всего 9 пар. Чтобы их встретилось как можно больше, они должны встречаться в порядке b не убывает, c не возрастает.
Две пары получить можно:
(10,20)→⋯→(10,16)→⋯→(10,9)→⋯→(10,5)→(11,5)→⋯→(15,5).Покажем, что три пары получить нельзя. Каждая из пар (10,9), (11,10), (12,11), (13,12), (14,13), (15,14) — «терминальная»: после неё ни одна другая пара уже не может появиться (b только возрастает, c только убывает, а допустимых пар больше нет). Из «нетерминальных» (10,16), (11,18), (12,20) после каждой может появиться лишь одна терминальная.
Ответ:
а) да
б) нет
в) 2
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Ларин