Аристарх написал на заборе квадратный трёхчлен вида x^2+10x+20 . После этого каждый проходящий мимо человек по очереди делал следующее: увеличивал или уменьшал на 1 либо коэффициент при x , либо свободный член (но не оба сразу). Рассматриваются все возможные последовательности таких изменений, приводящие от начального к конечному трёхчлену. а) Существует ли такая последовательность получившихся многочленов, в которой ни разу не появился многочлен с целыми корнями, если в итоге на заборе оказался трёхчлен x^2+12x+18 ? б) Существует ли такая последовательность получившихся многочленов, в которой ни разу не появился многочлен с целыми корнями, если в итоге на заборе оказался трёхчлен x^2+20x+10 ? в) Многочлен x^2+15x+5 был получен за минимальное количество шагов. Какое наибольшее количество многочленов с целыми корнями можно при этом получить?

Каждому приведённому квадратному трёхчлену x^2+bx+c поставим в соответствие пару (b,c)inZ^2 . Начальный трёхчлен x^2+10x+20 соответствует паре (10,20) . а) Да, существует. Цепочка пар (10,20)(11,20)(11,19)(12,19)(12,18) переводит начальный трёхчлен в x^2+12x+18 . Дискриминанты соответствующих многочленов: 100-80=20 , 121-80=41 , 121-76=45 , 144-76=68 , 144-72=72 — все не являются полными квадратами, значит ни один трёхчлен не имеет целых корней. б) Нет, не существует. При каждом изменении трёхчлена его значение в точке x=-1 меняется на 1 (если меняется коэффициент при x , то f(-1) убывает на 1 ; если свободный член, то f(-1) меняется на +- 1 ). Для f(x)=x^2+10x+20 : f(-1)=11 . Для g(x)=x^2+20x+10 : g(-1)=-9 . Значения f(-1) и g(-1) имеют разный знак, значит на каком-то промежуточном шаге появится трёхчлен h(x)=x^2+px+q с h(-1)=0 . Тогда -1 — целый корень, а второй корень по теореме Виета равен -qinZ . Этот трёхчлен имеет целые корни, что запрещено. в) Наибольшее количество — 2. Из пары (10,20) в пару (15,5) за минимальное число шагов потребуется |10-15|+|20-5|=20 шагов, причём для всех соседних пар b не убывает, c не возрастает. Переберём все пары (b,c) с bin[10;15] , cin[5;20] , для которых D=b^2-4c — полный квадрат: | b | пары (b,c) | |---|---| | 10 | (10,9) , (10,16) | | 11 | (11,10) , (11,18) | | 12 | (12,11) , (12,20) | | 13 | (13,12) | | 14 | (14,13) | | 15 | (15,14) | Всего 9 пар. Чтобы их встретилось как можно больше, они должны встречаться в порядке b не убывает, c не возрастает. Две пары получить можно: (10,20)(10,16)(10,9)(10,5)(11,5)(15,5). Покажем, что три пары получить нельзя. Каждая из пар (10,9) , (11,10) , (12,11) , (13,12) , (14,13) , (15,14) — «терминальная»: после неё ни одна другая пара уже не может появиться ( b только возрастает, c только убывает, а допустимых пар больше нет). Из «нетерминальных» (10,16) , (11,18) , (12,20) после каждой может появиться лишь одна терминальная. Ответ: а) да б) нет в) 2

А) да; Б) нет; В) $2$.