Два трёхзначных числа, не имеющих нулевых цифр, будем называть родственными, если у них одинаковые произведения цифр. Множество родственных чисел будем называть родом. а) Может ли род иметь 10 членов? б) Может ли род иметь 17 членов? в) Сколько родов имеют три члена?
Трёхзначное число без нулевых цифр имеет вид abc , где a, b, c in 1, 2, , 9 . Род — множество таких чисел с одинаковым произведением цифр P = abc . Число членов рода равно количеству упорядоченных троек (a, b, c) с abc = P . Для каждого мультимножества a, b, c число перестановок: 6 (все разные), 3 (две одинаковые), 1 (все одинаковые). а) Да. Возьмём P = 8 . Тройки: 1, 1, 8 (3 перестановки), 1, 2, 4 (6 перестановок), 2, 2, 2 (1 перестановка). Всего 3 + 6 + 1 = 10 чисел. Пример рода: 118, 181, 811, 124, 142, 214, 241, 412, 421, 222 . б) Нет. Число членов имеет вид 6k + 3m + n , где k — число мультимножеств вида a, b, c (все разные), m — вида a, a, b ( a != b ), n — вида a, a, a , причём n 1 (для каждого P существует не более одного a с a^3 = P ). Если n = 0 : 6k + 3m = 17 . Но 17 === 0 +-od3 — нет решений. Если n = 1 : 6k + 3m = 16 . Но 16 === 0 +-od3 — нет решений. Значит, род из 17 членов невозможен. в) Род из 3 членов получается, когда P имеет единственное мультимножество представления, и это мультимножество вида a, a, b с a != b . Переберём все P , представимые единственным способом как a, a, b , a, b in 1, , 9 , a != b : 1. a = 1 : P = b in 2, 3, 5, 7 — 4 значения (для b in 4, 6, 8, 9 есть другие тройки: 4 = 1 * 2 * 2 , 6 = 1 * 2 * 3 , 8 = 1 * 2 * 4 = 2^3 , 9 = 1 * 3 * 3 ). 2. a = 5 : P = 25b in 25, 50, 75, 100, 150, 175, 200, 225 — все 8 (других представлений нет). 3. a = 7 : P = 49b in 49, 98, 147, 196, 245, 294, 392, 441 — все 8. 4. a = 8 : единственны P in 256, 320, 384, 448, 576 — 5 значений ( P = 64, 128, 192 имеют другие представления; P = 576 = 8 * 8 * 9 единственно). 5. a = 9 : единственны P in 243, 405, 486, 567, 648 — 5 значений ( P = 81, 162, 324 имеют другие представления). 6. a = 2, 3, 4, 6 : ни одного значения (всегда есть альтернативное представление). Итого: 4 + 8 + 8 + 5 + 5 = 30 родов. Ответ: а) Да б) Нет в) 30
А) Да; Б) Нет; В) 30