Задача №17061

Ко дну высокого цилиндрического резервуара приварена трубка с краном. После открытия крана вода начинает вытекать из резервуара, при этом высота столба воды (в метрах) меняется по закону

$$H(t)=H_0-\sqrt{2g{H}_0}kt+\frac{g}{2}{k}^2{t}^2,$$

где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0=5$ м — начальная высота столба воды, $k=\frac{1}{800}$ — отношение площадей сечений трубки и резервуара, а $g=10\text{м}/{\text{с}}^2$ — ускорение свободного падения. Через сколько секунд после открытия крана в резервуаре останется четверть первоначального объёма воды?

Подставим $H_0=5\text{,}$ $k=\frac{1}{800}\text{,}$ $g=10\text{.}$ Тогда $\sqrt{2g{H}_0}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 5}=\sqrt{100}=10\text{,}$ и

$$H(t)=5-\frac{10t}{800}+\frac{10}{2}\cdot \frac{t^2}{800^2}=5-\frac{t}{80}+\frac{t^2}{128000}.$$

Так как резервуар цилиндрический, объём пропорционален высоте столба. Четверти первоначального объёма соответствует высота $\frac{H_0}{4}=\frac{5}{4}=1,25$ м. Решаем

$$5-\frac{t}{80}+\frac{t^2}{128000}=1,25.$$

Умножим обе части на $128000\text{:}$

$$640000-1600t+t^2=160000,$$ $$t^2-1600t+480000=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=1600^2-4\cdot 480000=2560000-1920000=640000,\sqrt{D}=800.$$

Корни:

$$t=\frac{1600\pm 800}{2},t_1=400,t_2=1200.$$

Найдём момент полного опустения резервуара: $H^{\prime }(t)=-\frac{1}{80}+\frac{t}{64000}=0$ при $t=800\text{,}$ при этом $H(800)=0\text{.}$ Формула описывает движение только до полного опустения, поэтому подходит только меньший корень $t=400$ с.

Ответ: 400.