Ко дну высокого цилиндрического резервуара приварена трубка с краном. После открытия крана вода начинает вытекать из резервуара, при этом высота столба воды (в метрах) меняется по закону H(t)=H_0-sqrt(2gH_0)kt+(g)/(2)k^2t^2, где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H_0=5 м — начальная высота столба воды, k=(1)/(800) — отношение площадей сечений трубки и резервуара, а g=10 м/с^2 — ускорение свободного падения. Через сколько секунд после открытия крана в резервуаре останется четверть первоначального объёма воды?

Подставим H_0 = 5 , k = (1)/(800) , g = 10 . Тогда sqrt(2gH_0) = sqrt(2* 10* 5) = sqrt(100) = 10 , и H(t) = 5 - (10t)/(800) + (10)/(2)* (t^2)/(800^2) = 5 - (t)/(80) + (t^2)/(128000). Так как резервуар цилиндрический, объём пропорционален высоте столба. Четверти первоначального объёма соответствует высота (H_0)/(4) = (5)/(4) = 1,25 м. Решаем 5 - (t)/(80) + (t^2)/(128000) = 1,25. Умножим обе части на 128000 : 640000 - 1600t + t^2 = 160000, t^2 - 1600t + 480000 = 0. Найдём дискриминант: D = 1600^2 - 4* 480000 = 2560000 - 1920000 = 640000, sqrt(D) = 800. Корни: t = (1600 +- 800)/(2), t_1 = 400, t_2 = 1200. Найдём момент полного опустения резервуара: H'(t) = -(1)/(80) + (t)/(64000) = 0 при t = 800 , при этом H(800) = 0 . Формула описывает движение только до полного опустения, поэтому подходит только меньший корень t = 400 с. Ответ: 400.

400