Задача №17058

А) Решите уравнение

$$\mathrm{tg}2x+\frac{1}{\sin x}=\mathrm{ctg}x+\frac{1}{\sin 5x}.$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0;\pi ]\text{.}$

А) Решаем уравнение

$$\mathrm{tg}2x+\frac{1}{\sin x}=\mathrm{ctg}x+\frac{1}{\sin 5x}.$$

ОДЗ: $\sin x\ne 0\text{,}$ $\sin 5x\ne 0\text{,}$ $\cos 2x\ne 0\text{.}$

Перегруппируем:

$$\mathrm{tg}2x-\mathrm{ctg}x=\frac{1}{\sin 5x}-\frac{1}{\sin x}.$$

Преобразуем левую часть:

$$\mathrm{tg}2x-\mathrm{ctg}x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin 2x\sin x-\cos x\cos 2x}{\cos 2x\sin x}=-\frac{\cos 3x}{\cos 2x\sin x}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{1}{\sin 5x}-\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x-\sin 5x}{\sin x\sin 5x}=-\frac{2\cos 3x\sin 2x}{\sin x\sin 5x}.$$

Получаем уравнение:

$$\frac{\cos 3x}{\cos 2x\sin x}=\frac{2\cos 3x\sin 2x}{\sin x\sin 5x}.$$

Умножим на $\sin x\text{:}$

$$\cos 3x\left(\frac{1}{\cos 2x}-\frac{2\sin 2x}{\sin 5x}\right)=0,$$ $$\frac{\cos 3x(\sin 5x-2\sin 2x\cos 2x)}{\cos 2x\sin 5x}=0,$$ $$\frac{\cos 3x(\sin 5x-\sin 4x)}{\cos 2x\sin 5x}=0.$$

Случай 1. $\cos 3x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3}\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Случай 2. $\sin 5x-\sin 4x=2\cos \frac{9x}{2}\sin \frac{x}{2}=0\text{.}$

1. $\sin (x/2)=0\Rightarrow x=2\pi n$ - нарушает ОДЗ ($\sin x=0$), отбрасываем.
2. $\cos (9x/2)=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{9}+\frac{2\pi m}{9}\text{,}$ $m\in \mathbb{Z}\text{,}$ при этом $m\ne 4+9t$ (иначе $x=\pi +2\pi t\text{,}$ $\sin x=0$).

Проверка ОДЗ для всех найденных корней выполняется.

Б) Корни на отрезке $[0;\pi ]\text{:}$

Из случая 1: $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}\text{.}$

Из случая 2 ($m=0,1,2,3$): $\frac{\pi }{9},\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{9},\frac{7\pi }{9}$ (значение $x=\pi$ при $m=4$ исключено ОДЗ).

В порядке возрастания:

$$\frac{\pi }{9},\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{9},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{9}.$$

Ответ:

А) $x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3}\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{;}$ $x=\frac{\pi }{9}+\frac{2\pi m}{9}\text{,}$ $m\in \mathbb{Z}\text{,}$ $m\ne 4+9t\text{.}$

Б) $\frac{\pi }{9},\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{9},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{9}\text{.}$