А) Решите уравнение tg 2x + (1)/(sin x) = ctg x + (1)/(sin 5x). Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0;pi] .

А) Решаем уравнение tg 2x + (1)/(sin x) = ctg x + (1)/(sin 5x). ОДЗ: sin x != 0 , sin 5x != 0 , cos 2x != 0 . Перегруппируем: tg 2x - ctg x = (1)/(sin 5x) - (1)/(sin x). Преобразуем левую часть: tg 2x - ctg x = (sin 2x)/(cos 2x) - (cos x)/(sin x) = (sin 2x sin x - cos x cos 2x)/(cos 2x sin x) = -(cos 3x)/(cos 2x sin x). Преобразуем правую часть: (1)/(sin 5x) - (1)/(sin x) = (sin x - sin 5x)/(sin x sin 5x) = -(2 cos 3x sin 2x)/(sin x sin 5x). Получаем уравнение: (cos 3x)/(cos 2x sin x) = (2 cos 3x sin 2x)/(sin x sin 5x). Умножим на sin x : cos 3x ( (1)/(cos 2x) - (2 sin 2x)/(sin 5x) ) = 0, (cos 3x (sin 5x - 2 sin 2x cos 2x))/(cos 2x sin 5x) = 0, (cos 3x (sin 5x - sin 4x))/(cos 2x sin 5x) = 0. Случай 1. cos 3x = 0 => x = (pi)/(6) + (pi k)/(3) , k in Z . Случай 2. sin 5x - sin 4x = 2 cos (9x)/(2) sin (x)/(2) = 0 . 1. sin(x/2) = 0 => x = 2pi n — нарушает ОДЗ ( sin x = 0 ), отбрасываем. 2. cos(9x/2) = 0 => x = (pi)/(9) + (2pi m)/(9) , m in Z , при этом m != 4 + 9t (иначе x = pi + 2pi t , sin x = 0 ). Проверка ОДЗ для всех найденных корней выполняется. Б) Корни на отрезке [0;pi] : Из случая 1: (pi)/(6),(pi)/(2),(5pi)/(6) . Из случая 2 ( m = 0, 1, 2, 3 ): (pi)/(9),(pi)/(3),(5pi)/(9),(7pi)/(9) (значение x = pi при m = 4 исключено ОДЗ). В порядке возрастания: (pi)/(9),(pi)/(6),(pi)/(3),(pi)/(2),(5pi)/(9),(5pi)/(6),(7pi)/(9). Ответ: А) x = (pi)/(6) + (pi k)/(3) , k in Z ; x = (pi)/(9) + (2pi m)/(9) , m in Z , m != 4 + 9t . Б) (pi)/(9),(pi)/(6),(pi)/(3),(pi)/(2),(5pi)/(9),(5pi)/(6),(7pi)/(9) .

А) x = π/6 + πk/3, k∈Z; x = π/9 + 2πm/9, m∈Z, m≠4+9t. Б) π/9, π/6, π/3, π/2, 5π/9, 5π/6, 7π/9.