а) Решите уравнение (2sin^2 xcos x + sqrt(3)sin^2 x - 2cos x - sqrt(3))/(sqrt(tg x)) = 0 . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3pi;-(pi)/(2)] .

а) ОДЗ: tg x > 0 , cos x != 0 , sin x != 0 . Приравняем числитель к нулю: 2sin^2 xcos x + sqrt(3)sin^2 x - 2cos x - sqrt(3) = 0. Сгруппируем: 2sin^2 x(cos x + (sqrt(3))/(2)) - 2(cos x + (sqrt(3))/(2)) = 0, (cos x + (sqrt(3))/(2))(sin^2 x - 1) = 0. Случай 1: sin^2 x = 1 => cos^2 x = 0 => cos x = 0 , что противоречит ОДЗ. Случай 2: cos x = -(sqrt(3))/(2) , то есть x = +-(5pi)/(6) + 2pi n . Серия x = (5pi)/(6) + 2pi n лежит во II четверти, где tg x < 0 — не подходит. Серия x = -(5pi)/(6) + 2pi n лежит в III четверти, где sin x < 0 , cos x < 0 , tg x > 0 — подходит. Итак, x = -(5pi)/(6) + 2pi n , n in Z . б) Отрезок [-3pi;-(pi)/(2)] . Подставляем n : При n = 0 : x = -(5pi)/(6) — лежит в отрезке. При n = -1 : x = -(5pi)/(6) - 2pi = -(17pi)/(6) — лежит, так как -3pi = -(18pi)/(6) < -(17pi)/(6) . При n = -2 : x = -(29pi)/(6) < -3pi — не подходит. Ответ: а) x = -(5pi)/(6) + 2pi n , n in Z б) -(17pi)/(6);-(5pi)/(6)

А) $x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; Б) $-\dfrac{17\pi}{6};\;-\dfrac{5\pi}{6}$