Задача №17057

а) Решите уравнение
$\frac{2{\sin }^{2}x\cos x+\sqrt{3}{\sin }^{2}x-2\cos x-\sqrt{3}}{\sqrt{\mathrm{tg}x}}=0\text{.}$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-3\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

а) ОДЗ: $\mathrm{tg}x>0\text{,}$ $\cos x\ne 0\text{,}$ $\sin x\ne 0\text{.}$

Приравняем числитель к нулю:

Сгруппируем:

Случай 1: ${\sin }^{2}x=1\Rightarrow {\cos }^{2}x=0\Rightarrow \cos x=0\text{,}$ что противоречит ОДЗ.

Случай 2: $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ то есть $x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n\text{.}$ Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$ лежит во II четверти, где $\mathrm{tg}x<0$ — не подходит. Серия $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n$ лежит в III четверти, где $\sin x<0\text{,}$ $\cos x<0\text{,}$ $\mathrm{tg}x>0$ — подходит.

Итак, $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отрезок $\left[-3\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$ Подставляем $n\text{:}$

При $n=0\text{:}$ $x=-\frac{5\pi }{6}$ — лежит в отрезке.

При $n=-1\text{:}$ $x=-\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{17\pi }{6}$ — лежит, так как $-3\pi =-\frac{18\pi }{6}<-\frac{17\pi }{6}\text{.}$

При $n=-2\text{:}$ $x=-\frac{29\pi }{6}<-3\pi$ — не подходит.

Ответ:

а) $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{17\pi }{6};-\frac{5\pi }{6}$