Задача №17055

Решите неравенство

$${\left(\frac{x^2}{4}-\frac{3x}{2}+3\right)}^{x^2-x-7}>\frac{4}{x^2-6x+12}.$$

Заметим, что $x^2-6x+12=(x-3{)}^2+3⩾3>0$ при всех $x\text{,}$ то есть знаменатель правой части положителен и ОДЗ — все действительные числа.

Преобразуем основание степени слева: $\frac{x^2}{4}-\frac{3x}{2}+3=\frac{x^2-6x+12}{4}\text{.}$

Перепишем неравенство в виде

$${\left(\frac{x^2-6x+12}{4}\right)}^{x^2-x-7}>{\left(\frac{x^2-6x+12}{4}\right)}^{-1}\cdot \frac{x^2-6x+12}{4}\cdot \frac{4}{x^2-6x+12}\cdot 4^{-1}\cdot \dots$$

проще: разделим обе части на $\frac{4}{x^2-6x+12}$ и заметим, что

$${\left(\frac{x^2-6x+12}{4}\right)}^{x^2-x-7}\cdot \frac{x^2-6x+12}{4}>1\iff {\left(\frac{x^2-6x+12}{4}\right)}^{x^2-x-6}>1.$$

Прологарифмируем по основанию $4$ (функция ${\log }_4$ возрастает) — знак сохраняется:

$$(x^2-x-6)\cdot {\log }_4\left(\frac{x^2-6x+12}{4}\right)>0.$$

Учитывая, что

$${\log }_4\left(\frac{x^2-6x+12}{4}\right)>0\iff x^2-6x+12>4\iff x^2-6x+8>0\iff (x-2)(x-4)>0,$$

и $x^2-x-6=(x+2)(x-3)\text{,}$ получаем

$$(x+2)(x-3)(x-2)(x-4)>0.$$

Корни: $-2\text{,}$ $2\text{,}$ $3\text{,}$ $4\text{.}$ Методом интервалов:

• $x<-2\text{:}$ знак $+$ (4 отрицательных множителя);
• $-2<x<2\text{:}$ знак $-\text{;}$
• $2<x<3\text{:}$ знак $+\text{;}$
• $3<x<4\text{:}$ знак $-\text{;}$
• $x>4\text{:}$ знак $+\text{.}$

Ответ: $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;3)\cup (4;+\infty )\text{.}$