Решите неравенство ((x^2)/(4)-(3x)/(2)+3)^(x^2-x-7)>(4)/(x^2-6x+12).

Заметим, что x^2-6x+12=(x-3)^2+3 3>0 при всех x , то есть знаменатель правой части положителен и ОДЗ — все действительные числа. Преобразуем основание степени слева: (x^2)/(4)-(3x)/(2)+3=(x^2-6x+12)/(4) . Перепишем неравенство в виде ((x^2-6x+12)/(4))^(x^2-x-7)>((x^2-6x+12)/(4))^(-1)*(x^2-6x+12)/(4)*(4)/(x^2-6x+12)* 4^(-1)* проще: разделим обе части на (4)/(x^2-6x+12) и заметим, что ((x^2-6x+12)/(4))^(x^2-x-7)*(x^2-6x+12)/(4)>1 <=> ((x^2-6x+12)/(4))^(x^2-x-6)>1. Прологарифмируем по основанию 4 (функция _4 возрастает) — знак сохраняется: (x^2-x-6)*_4((x^2-6x+12)/(4))>0. Учитывая, что _4((x^2-6x+12)/(4))>0<=> x^2-6x+12>4<=> x^2-6x+8>0<=> (x-2)(x-4)>0, и x^2-x-6=(x+2)(x-3) , получаем (x+2)(x-3)(x-2)(x-4)>0. Корни: -2 , 2 , 3 , 4 . Методом интервалов: - x<-2 : знак + (4 отрицательных множителя); - -2<x<2 : знак - ; - 2<x<3 : знак + ; - 3<x<4 : знак - ; - x>4 : знак + . Ответ: xin(-inf;-2)U(2;3)U(4;+inf) .

$x\in(-\infty;\,-2)\cup(2;\,3)\cup(4;\,+\infty)$.