Решите неравенство: (x + 1)(x + 2) + 4sqrt(x^2 + 3x - 6) < 20.

(x + 1)(x + 2) + 4sqrt(x^2 + 3x - 6) < 20 <=> x^2 + 3x + 2 + 4sqrt(x^2 + 3x - 6) < 20. Пусть sqrt(x^2 + 3x - 6) = t, t 0 (*). Тогда x^2 + 3x = t^2 + 6, и неравенство переходит в: t^2 + 6 + 2 + 4t < 20 <=> t^2 + 4t - 12 < 0 <=> (t + 6)(t - 2) < 0 <=> -6 < t < 2. С учётом (*), 0 t < 2. Вернёмся к переменной x: 0 sqrt(x^2 + 3x - 6) < 2 <=> cases x^2 + 3x - 6 0, & (1) x^2 + 3x - 6 < 4. & (2) cases (1) Корни x^2 + 3x - 6 = 0: x_(1,2) = (-3 +- sqrt(33))/(2). Парабола y = x^2 + 3x - 6 ветвями вверх, поэтому y 0 при x (-3 - sqrt(33))/(2) или x (-3 + sqrt(33))/(2). (2) x^2 + 3x - 10 < 0 <=> (x + 5)(x - 2) < 0 <=> -5 < x < 2. Так как (-3 - sqrt(33))/(2) > (-3 - sqrt(36))/(2) = -4,5 > -5 и (-3 + sqrt(33))/(2) < (-3 + sqrt(36))/(2) = 1,5 < 2, то пересечение даёт: x in (-5; (-3 - sqrt(33))/(2)] U [(-3 + sqrt(33))/(2); 2). Ответ: (-5; (-3 - sqrt(33))/(2)] U [(-3 + sqrt(33))/(2); 2).

$\left(-5;\ \dfrac{-3 - \sqrt{33}}{2}\right] \cup \left[\dfrac{-3 + \sqrt{33}}{2};\ 2\right)$